Substitusi adalah salah satu senjata dalam olimpiade matematika. Khususnya untuk jenjang SMP, masih banyak muncul soal-soal yang membutuhkan clever substitution. Dengan pemilihan substitusi yang tepat, banyak soal yang bisa dikerjakan dengan cara yang lebih sederhana dan simpel.

Jika Anda termasuk siswa SMP yang mau ikut olimpiade matematika, mulai dari sekarang harus mulai belajar dan membiasakan diri dengan yang namanya substitusi. Caranya? Lihat contoh-contoh berikut. Selanjutnya banyak-banyaklah berlatih. Ingat, practise make perfect!

Substitusi Untuk Memudahkan Komputasi

Bagaimana jika Anda diberi soal seperti berikut ini?

Hitunglah nilai dari $\displaystyle \frac{(2020^2-20100)(20100^2-100^2)(2000^2+2010)}{2010^6-10^6}$
 Apakah Anda berpikir untuk menghitung langsung? Boleh saja sih. Tetapi saya tidak menyarankan.

Personally, kalau melihat soal komputasi seperti ini, saya langsung terpikir untuk menggunakan substitusi. Substitusi yang mana? Dari bentuk soalnya saya lebih memilih menggunakan substitusi $x=2010$ dan $y=10$. Nah soalnyabisa ditulis ulang  menjadi
\begin{align*}
&\frac{\Bigl((x+y)^2-xy\Bigr)\Bigl((xy)^2-y^4\Bigr)\Bigl((x-y)^2+xy\Bigr)}{x^6-y^6}\\
=&\frac{(x^2+y^2+xy)y^2(x^2-y^2)(x^2+y^2-xy)}{x^6-y^6}\\
=&\frac{y^2(x-y)(x^2+y^2+xy)(x+y)(x^2+y^2-xy)}{x^6-y^6}\\
=&\frac{y^2(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{x^6-y^6}\\
=&\frac{y^2(x^6-y^6)}{x^6-y^6}\\
=&y^2
\end{align*}
Dari proses di atas dapat Anda perhatikan bahwa dengan menggunakan substitusi tahapan perhitungannya menjadi lebih enak dilihat dan lebih mengalir. Setuju?

Contoh selanjutnya, saya ambil dari soal OSN SMP tahun 2012.

Diketahui $n$ adalah bilangan bulat positif. Jika \begin{equation*} f(n)=\frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} \end{equation*} tentukan $f(13)+f(14)+f(15)+\cdots+f(112)$.

Semua orang tentu setuju, bahwa untuk menyelesaikan soal di atas, hal pertama yang perlu dilakukan adalah menyederhanakan bentuk $f(n)$. Anda bisa melakukannya dengan mengalikan penyebut dengan sekawannya. Tetapi bentuknya jadi tidak enak dilihat.

Untuk alternatif lain, coba substitusi $\sqrt{2n+1}=a$ dan $\sqrt{2n-1}=b$. Sehingga diperoleh
\begin{equation*}
\frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}=\frac{a^2+b^2+ab}{a+b}
\end{equation*}
Nampak tidak asing bukan?

Yupz, Anda benar
\begin{equation*}
\frac{a^2+b^2+ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2+ab}{a+b}\cdot\frac{a-b}{a-b}=\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}
\end{equation*}
Sehingga
\begin{equation*}
f(n)=\frac{\sqrt{(2n+1)^3}-\sqrt{(2n-1)^3}}{2}
\end{equation*}
Lebih jauh lagi, jika dimisalkan $g(n)=\dfrac{\sqrt{(2n+1)^3}}{2}$, maka
\begin{equation*}
f(n)=g(n)-g(n-1)
\end{equation*}And the rest is easy,
\begin{equation*}
\sum\limits_{n=13}^{112}f(n)=\sum\limits_{n=13}^{112}\bigl(g(n)-g(n-1)\bigr)=g(112)-g(12)=1625
\end{equation*}

Pemfaktoran Dengan Bantuan Substitusi

Teknik substitusi juga sering digunakan untuk mempermudah dalam proses pemfaktoran. Dengan substitusi, bentuk yang difaktorkan kadang jadi lebih mudah terlihat.

Faktorkan bentuk berikut : $(x^2-1)(x+3)(x+5)+16$
 Mau dijabarkan semua? Big NO! You know it is very messy to expand all of thing. Saya lebih menyarankan untuk mengalikan beberapa suku dan melihat ada sesuatu yang bisa digunakan atau tidak.

\begin{align*}
(x^2-1)(x+3)(x+5)+16&=(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)+16\\
&=(x^2+4x -5)(x^2+4x+3)+16
\end{align*}
Nah, terlihat ada yang sama bukan? Betul! Misalkan $x^2+4x=y$ maka
\begin{equation*}
(x^2-1)(x+3)(x+5)+16=(y-5)(y+3)+16=y^2-2y+1=(y-1)^2=(x^2-4x -1)^2
\end{equation*}

Contoh selanjutnya

Faktorkan : $(3a+3b-18ab)(3a+3b-2)+(1-9ab)^2$
 Salah satu substitusi yang natural adalah mensetting $3a=x$ and $3y=b$. Sehingga bentuk yang mau difaktorkan menjadi

\begin{equation*}
(x+y-2xy)(x+y-2)+(1-xy)^2
\end{equation*}
ternyata masih susah dilihat mau diapain setelah ini. Untungnya ada yang istimewa dari bentuk di atas. Yaitu hanya terdiri variabel $(x+y)$ dan $xy$. Jadi, tidak ada salahnya kita misalkan $x+y=m$ dan $xy=n$. Akhirnya bentuk yang mau difaktorkan menjadi
\begin{align*}
(m-2n)(m-2)+(1-n)^2&=m^2-2m-2mn+4n+1-2n+n^2\\
&=m^2+n^2-2mn+2n-2m+1\\
&=(n-m)^2+2(n-m)+1\\
&=(n-m+1)^2
\end{align*}
And Bingo! We get it.
\begin{equation*}
(3a+3b-18ab)(3a+3b-2)+(1-9ab)^2=(9ab-3a-3b+1)^2=(3a-1)^2(3b-1)^2
\end{equation*}

Substitusi Mempermudah Menyelesaikan Suatu Persamaan

Dua tahun yang lalu ketika pertama kali melihat soal OSP SMP tahun 2012 berikut, saya beberapa saat stuck tidak dapat ide.

Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan berikut : \begin{equation*} 2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1 \end{equation*}
 Tetapi kemudian, saya terpikir menggunakan substitusi $2^x=a$ dan $3^x=b$ sehingga bentuknya menjadi

\begin{equation*}
a+b-a^2+ab-b^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2-ab-a-b+1=0
\end{equation*}
Look more familiar, isn’t it? Yeah, we get
\begin{equation*}
2(a^2+b^2-ab-a-b+1)=0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1=0\Leftrightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=0
\end{equation*}
Dan akhirnya diperoleh $a=b=1\Leftrightarrow x=0$. So, $x=0$ is the only solution.

Satu lagi contoh dari saya

Tentukan akar-akar persamaan : $(6x+7)^2(3x+4)(x+1)=6$

Adakah bentuk yang istimewa? Jika belum ada, bagaimana dengan yang ini
\begin{equation*}
(6x+7)^2(6x+8)(6x+6)=72
\end{equation*}
Wah, itu substitusi saja pake $6x+7=y$. Jika itu yang ada dipikiran Anda sekarang, berarti you are on the right track.
\begin{equation*}
y^2(y+1)(y-1)=72\Leftrightarrow y^2(y^2-1)=72\Leftrightarrow (y^2-9)(y^2+8)=0
\end{equation*}
Selebihnya saya rasa ini mudah untuk Anda selesaikan.

Saya rasa cukup bagian saya untuk menjelaskan tentang kegunaan substitusi aljabar dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade. Sekarang tiba giliran Anda untuk berlatih menggunakan substitusi aljabar dalam soal. Berikut beberapa latihan yang dapat Anda coba kerjakan,

  1. Diketahui $x=\dfrac{4}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt[4]{5}+1)(\sqrt[8]{5}+1)(\sqrt[16]{5}+1)}$. Hitunglah nilai $(x+1)^{48}$
  2. Hitunglah nilai dari $\dfrac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}+2}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[4]{8}+2}}$
  3. Tentukan hasil kali akar-akar real dari persamaan \begin{equation*} \frac{x^2+90x+2027}{3}=\sqrt{x^2+90x+2055} \end{equation*}
  4. Misalkan $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan \begin{equation*} \frac{1}{x^2-10x -29}+\frac{1}{x^2-10x  -45}-\frac{2}{x^2-10x -69}=0 \end{equation*} Carilah nilai $a+b$
  5. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan-bilangan real positif sehingga \begin{equation*} \frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=0 \end{equation*} Tentukan nilai dari $\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^2$
  6. Carilah akar-akar dari persamaan $x^4-6x^3+11x^2-6x+1=0$