Pada syllabus A level Mathematic dan juga entrance test universitas luar negeri semisal NTU, NUS atau Oxford ada banyak materi yang tidak diajarkan pada kurikulum SMA Indonesia. Salah satunya adalah differential equation. Karena tidak diajarkan, bisa-bisa ini menjadi salah satu soal yang nantinya tidak bisa dikerjakan. Gara-garanya tidak tahu. Kan sayang. Padahal materi differential equation itu tidak susah.

Differential equation a.k.a persamaan diferensial kalau diterjemahkan dalam bahasa Indonesia adalah persamaan yang melibatkan variable $x,y$ dan turunan fungsi $y$ terhadap $x$. Sebagai contoh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx}&=x^2+1\\
\frac{dy}{dx}&=xy+y^2\\
\left(\frac{dy}{dx}\right)^2&+ 2\frac{dy}{dx}+x+1=0
\end{align*}
adalah termasuk kedalam bentuk persamaan diferensial.

Di dalam differential equation dikenal istilah order dan degree. Suatu persamaan diferensial dikatakan berorder-$n$ jika didalam persamaan tersebut, turunan ke-$n$ dari $y$ adalah turunan tertingginya. Sedangkan dikatakan memiliki degree-$k$ jika turunan tertinggi yang terdapat didalam persamaan diferensial yang diberikan berpangkat $k$. Perhatikan contoh berikut untuk memberi gambaran lebih jelas mengenai order dan degree dari persamaan diferensial

  • $\frac{dy}{dx}=x^2+1$ adalah contoh persamaan diferensial order-$1$ dan degree-$1$.
  • $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=xy+y^2$ adalah contoh persamaan diferensial order-$2$ dan degree-$1$.
  • $\left(\frac{d^7y}{dx^7}\right)^5+ 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+x+1=0$ adalah contoh persamaan diferensial order-$7$ dan degree-$5$.

Ada banyak sekali tipe persamaan diferensial. Dan yang paling saya tidak suka, tiap tipe memiliki cara/ metode penyelesaian yang berbeda. Semakin tiggi order dan degree semakin susah.

Kabar baiknya, untuk materi A level materi persamaan diferensialnya cuma yang first order dan first degree. Terus tidak neko-neko. Yang homogen dan eksak juga tidak ada. Jadi masih mudahlah ya.

Beberapa teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang digunakan pada materi A level adalah sebagai berikut

Direct Integration

Bentuk-bentuk persamaan diferensial seperti

\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=f(x),\quad \frac{d^2y}{dx^2}=g(x)
\end{equation*}
dapat dengan mudah diselesaikan dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap $x$. Ini kayak materi pengintegralan biasa. Just integrate both side, beres. Nothing more. So i won’t give further explanation or examples for this section.

Method of Separable Variable

Persamaan diferensial yang bisa diselesaikan dengan cara ini adalah persamaan diferensial yang bisa disusun ulang dan diatur sedemikian rupa hingga berbentuk
\begin{equation*}
f(y)dy=g(x)dx
\end{equation*}
Makanya disebut separable variable karena memang variable $x$ dan $y$ bisa dipisahkan kedalam dua ruas yang berbeda. Teknik yang kedua ini harus Anda kuasai benar jika mau test A level. Masalahnya soal-soal di A level (baik OCR, CIE, Edexel) sangat suka dengan tipe yang satu ini.

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang bentuknya separable variable juga mudah. Cukup Anda integralkan kedua ruas terhadap $x$. Ntar ketemu solusinya. Mudah atau tidaknya ya tergantung fungsi yang diintegralkan. Saya beri contoh saja supaya lebih mudah.

(OCR 2009) Given that $y=-2$ when $x=1$, solve the differential equation \begin{equation*} \frac{dy}{dx}=y^2\sqrt{x} \end{equation*} giving your answer in the form $y=f(x)$
Solution.

First, rearrange the given differential equation
\begin{equation*}
\frac{1}{y^2}dy=\sqrt{x}dx
\end{equation*}
then integrate both side with respect to $x$,
\begin{align*}
\int \frac{1}{y^2}dy&=\int \sqrt{x}dx\\
-\frac{1}{y}&=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
y&=-\frac{1}{\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}=-\frac{3}{2x\sqrt{x}+3C}\quad …….(*)
\end{align*}
From the initial condition, we know that $y=-2$ when $x=1$. Substitute this given value to (*). Hence, we get
\begin{equation*}
-2=-\frac{3}{2+3C}\Leftrightarrow C=-\frac{1}{6}
\end{equation*}
Therefore,
\begin{equation*}
y=-\frac{3}{2x\sqrt{x}-\frac{1}{2}}=-\frac{6}{4x\sqrt{x}-1}
\end{equation*}

Oh ya saya lupa diawal memberi penjelasan. Bentuk penyelesaian yang kita peroleh seperti pada pers.(*) disebut General Solution (solusi umum). Sedang jika pada General Solution kita substitusikan nilai tertentu (biasanya sudah dinyatakan dalam soal) maka akan diperoleh Particular Solution (solusi khusus).

Using Integration Factor

Seringkali saya temui (walau frekuensinya jarang) soal-soal A level yang menanyakan penyelesaian dari first order linier differential equation. Bentuk first order linier differential equation itu kayak begini
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
\end{equation*}
Jadi, semisal ditemui persamaan diferensial yang bisa diarrange jadi bentuk kayak di atas maka teknik yang ketiga ini bisa digunakan.

Terus, bagaimana caranya?

Kalikan kedua ruas dengan $\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}$. Ini nih yang namanya integration factor. Jadi, ntar bentuknya menjadi seperti ini
\begin{equation*}
e^{\int P(x)\,dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)\,dx}P(x)y=e^{\int P(x)\,dx}Q(x)
\end{equation*}
Yang perlu Anda perhatikan adalah bentuk di ruas kiri. Ingat
\begin{equation*}
e^{\int P(x)\,dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)\,dx}P(x)y=\frac{d\left(e^{\int P(x)\,dx}y\right)}{dx}
\end{equation*}
Jadi, jika kedua ruas diintegralkan terhadap $x$ akan diperoleh
\begin{align*}
\int\frac{d\left(e^{\int P(x)\,dx}y\right)}{dx}&=\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx\\
e^{\int P(x)\,dx}y&=\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx
\end{align*}
Tinggal yang ruas kanan tu diintegralin ntar solusinya sudah ketemu.

(NTU 2009) Solve the differential equation $\frac{dy}{dx}+2y=x$
Solution.
Multiple both side with $\displaystyle e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$
\begin{align*}
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y&=xe^{2x}\\
\frac{d(e^{2x}y)}{dx}&=xe^{2x}
\end{align*}
then integrate both side w.r.t. $x$
\begin{align*}
\int\frac{d(e^{2x}y)}{dx}&=\int xe^{2x}\,dx\\
e^{2x}y&=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+C\\
y&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}+\frac{C}{e^{2x}}
\end{align*}

Nah, itu tadi sekilas materi persamaan diferensial untuk A level math. Tidak susah. Hanya di sekolah tidak diajarkan saja. Jadi yang berniat ikut test A level tetap semangat belajar. Sumber belajar bisa dari mana saja. Semoga apa yang saya tulis ini bisa sedikit membantu.

Don’t be shy if you have question, just fill the comment form bellow =)