Ada yang tahu apa itu persamaan diophantine? Persamaan Diophantine adalah persamaan yang jawabnya harus dicari hanya pada himpunan bilangan bulat. Karena jawabnya harus berupa bilangan bulat tentu tidak semua persamaan diophantine memiliki jawab. Persamaan $2x -5=0$ misalnya.

Kadang membuktikan persamaan diophantine tidak memiliki jawab lebih mudah daripada mencari solusi dari persamaannya itu sendiri. Untuk kali ini, saya tidak akan membahas persamaan diophantine yang tidak memiliki solusi. Tetapi akan fokus pada persamaan diophantine yang memiliki solusi dan bagaimana mencari solusi tersebut.

Untuk mencari solusi dari persamaan diophantine ada beberapa teknik yang dapat digunakan. Salah satu teknik dasar adalah dengan metode pemfaktoran. Inti dari teknik pemfaktoran adalah kita mengubah bentuk persamaan
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,\cdots,,x_n)=0
\end{equation*}
menjadi bentuk
\begin{equation*}
f_1(x_1,x_2,\cdots,,x_n)f_2(x_1,x_2,\cdots,,x_n)\cdots f_k(x_1,x_2,\cdots,,x_n)=a
\end{equation*}
dengan $f_1,f_2,\cdots,f_k\in\mathbb{Z}[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ dan $a\in\mathbb{Z}$
Bagian tersulit dari teknik ini adalah menemukan pemfaktoran yang tepat dari ekspresi yang diberikan. Begitu pemfaktorannya sudah ditemukan, langkah selanjutnya relatif lebih mudah. Sebab persamaan yang terbentuk menjadi lebih mudah untuk diselesaikan.

Untuk mengilustrasikan metode pemfaktoran guna menyelesaikan persamaan diophantine saya berikan beberapa ilustrasi berikut :

Contoh pertama adalah yang paling simpel. Soal ini banyak muncul di Olimpiade SMP

Contoh 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(a,b)$ sedemikian hingga $\displaystyle \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$
 Jelas $a\neq 0$ dan $b\neq 0$. Untuk menyelesaikan persamaan diophantine ini, kalikan kedua ruas dengan $ab$ sehingga setelah disusun ulang diperoleh $ab-2a-3b=0$. Lalu bagaimana memfaktorkannya? Tambahkan kedua ruas dengan $6$ sehingga persamaannya menjadi

\begin{equation*}
ab-2a-3b+6=6
\end{equation*}
selanjutnya ruas kiri bisa difaktorkan menjadi
\begin{equation*}
(a-3)(b-2)=6
\end{equation*}
Dari sini kita dapatkan sistem persamaan yaitu
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
a-3=1\\
b-2=6
\end{array}
\right.\quad \left\{
\begin{array}{ll}
a-3=2\\
b-2=3
\end{array}
\right.\quad \left\{
\begin{array}{ll}
a-3=3\\
b-2=2
\end{array}
\right.\quad \left\{
\begin{array}{ll}
a-3=6\\
b-2=1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
a-3=-1\\
b-2=-6
\end{array}
\right.\quad \left\{
\begin{array}{ll}
a-3=-2\\
b-2=-3
\end{array}
\right.\quad \left\{
\begin{array}{ll}
a-3=-3\\
b-2=-2
\end{array}
\right.\quad \left\{
\begin{array}{ll}
a-3=-6\\
b-2=-1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
setelah diselesaikan akan diperoleh tujuh solusi yaitu $(4,8), (5,5),(6,4),(9,3),(2,-4),(1,-1),(-3,1)$ yang semuanya setelah dicek memenuhi persamaan yang diberikan.

Ini tadi adalah contoh sederhana. Mungkin ada yang bertanya dalam hati, bagaimana dengan soal yang seperti ini :
Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(a,b)$ sedemikian hingga $\displaystyle \frac{12}{a}+\frac{3}{b}=7$

Karena setelah dikalikan dengan $ab$ didapat bentuk $7ab-3a-12b=0$, bagaimana cara memfaktorkannya? Untuk bentuk yang seperti ini harus sedikit lebih kreatif. Pertama kalikan dulu kedua ruas dengan $7$, sehingga menjadi $49ab-21a-84b=0$. Lalu tambahkan kedua ruas dengan $36$ sehingga menjadi $49ab-21a-84b+36=36$ yang bisa difaktorkan
\begin{equation*}
(7a-12)(7b-3)=36
\end{equation*}
selanjutnya bisa diproses seperti soal sebelumnya.

Contoh 2. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} (xy-7)^2=x^2+y^2 \end{equation*}
 Apakah bentuk yang seperti ini bisa difaktorkan? Saya juga kurang tahu. Untuk langkah awal kita coba jabarkan terlebih dahulu bentuk $(xy-7)^2$ sehingga diperoleh

\begin{equation*}
x^2y^2-14xy+49=x^2+y^2
\end{equation*}
Karena terlihat ada bentuk $x^2+y^2$ dan $xy$ maka kita akan terasosiasi dengan bentuk $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Selanjutnya jika ditulis ulang persamaannya menjadi
\begin{equation*}
x^2y^2-12xy+49=x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow (xy-6)^2+13=(x+y)^2
\end{equation*}
yang bisa difaktorkan menjadi
\begin{equation*}
13=(x+y)^2-(xy-6)^2=(x+y+xy-6)(x+y-xy+6)
\end{equation*}
Dari sini kita dapatkan empat sistem persamaan
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
x+y+xy-6=1\\
x+y-xy+6=13
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
x+y+xy-6=13\\
x+y-xy+6=1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
x+y+xy-6=-1\\
x+y-xy+6=-13
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
x+y+xy-6=-13\\
x+y-xy+6=-1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Pandang sistem persamaan di atas dalam variabel $x+y$ dan $xy$ sehingga dengan eliminasi dapat disederhanakan menjadi
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
x+y=7\\
xy=0
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
x+y=7\\
xy=12
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
x+y=-7\\
xy=12
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
x+y=-7\\
xy=0
\end{array}
\right.
\end{equation*}
yang memberikan delapan pasang solusi yaitu $(-4,-3),(-3,-4),(-7,0),(0,-7),(0,7),(7,0),(3,4),(4,3)$

Contoh 3. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} x^2(y-1)+y^2(x-1)=1 \end{equation*}
 Ruas kiri kita jabarkan terlebih dahulu menjadi

\begin{equation*}
x^2y-x^2+xy^2-y^2=1\Leftrightarrow xy(x+y)-(x+y)^2+2xy=1
\end{equation*}
Untuk memudahkan, misalkan $a=x+y$ dan $b=xy$ maka bentuk persamaannya menjadi
\begin{equation*}
ab-a^2+2b=1\Leftrightarrow (a+2)(a-b-2)=-5
\end{equation*}
sehingga diperoleh empat sistem persamaan
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
a+2=-5\\
a-b-2=1
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
a+2=1\\
a-b-2=-5
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
a+2=-1\\
a-b-2=5
\end{array}
\right.\quad\left\{
\begin{array}{ll}
a+2=5\\
a-b-2=-1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Pasangan $(a,b)$ yang memenuhi yaitu $(-7,-10),(-3,-10),(-1,2),(3,2)$. Dengan mengingat bahwa $a=x+y$ dan $b=xy$ maka pasangan $(x,y)$ yang memenuhi ada 4 pasang yaitu $(-5,2),(2,-5),(1,2),(2,1)$

Sekarang mari berlatih, ingat moto belajar kita “Get Your Hands Dirty

  1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} (x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy) \end{equation*}
  2. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima, tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq} \end{equation*}
  3. Tentukan semua tripel bilangan bulat $(x,y,z)$ sedemikian sehingga \begin{equation*} x^3+y^3+z^3-3xyz=p \end{equation*} untuk suatu bilangan prima $p > 3$
  4. Tentukan semua tripel bilangan bulat $(x,y,z)$ yang memenuhi \begin{equation*} x^3+y^3+z^3=x+y+z=3 \end{equation*}
  5. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan\begin{equation*} x^2+6xy+8y^2+3x+6y=2 \end{equation*}
  6. Untuk setiap bilangan asli $n$, didefinisikan $s(n)$ sebagai banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} \end{equation*} Carilah semua bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $s(n)=5$
  7. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} \frac{p}{x}+\frac{q}{y}=1 \end{equation*}
  8. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} x^3-y^3=xy+61 \end{equation*}
  9. Carilah solusi dari persamaan Diophantine \begin{equation*} p-q^4=4 \end{equation*} dengan $p$ adalah bilangan prima
  10. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ sedemikian sehingga berlaku \begin{equation*} x^6+3x^3+1=y^4 \end{equation*}
  11. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \begin{equation*} (x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3 \end{equation*}
  12. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan\begin{equation*} xy+\frac{x^3+y^3}{3}=2007 \end{equation*}
  13. Carilah semua segitiga siku-siku $ABC$ yang panjang sisi-sisinya berupa bilangan bulat dan (secara numerik) luas segitiga tersebut sama dengan kelilingnya