Pada perlombaan matematika (baca : olimpiade matematika) terutama untuk tingkat SMP, materi aljabar masih sangat mendominasi. Oleh karena itu, salah satu materi yang penting di bidang aljabar yaitu identitas aljabar mutlak harus dikuasai.

Banyak sekali identitas yang Anda harus ketahui. Kalau  semua bisa Anda pahami, tentu sangat baik. Akan tetapi jika tidak atau belum, setidaknya beberapa identitas dasar adalah modal wajib bagi Anda. Sedangkan identitas-identitas lain yang lebih sulit kadang bisa diturunkan dari identitas dasar (identitas yang lebih sederhana).

Rumus Identitas Aljabar Untuk Dua Variabel

  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
  3. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
  4. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
  5. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  6. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
  7. $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$, berlaku untuk sebarang bilangan asli $n$
  8. $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\cdots+a^2b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})$, berlaku untuk sebarang bilangan ganjil positif $n$
  9. $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$. Jika $a+b+c=0$ kita peroleh $a^3+b^3+c^3=3abc$

Selain beberapa identitas di atas ada identitas lain yang mungkin dianggap remeh tetapi sangat bermanfaat. Apa itu?

Square is never negative

Penerapan sederhananya seperti berikut. Misal kita punya fungsi $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan $a > 0$,  kita peroleh
\begin{align*}
f(x)&=ax^2+bx+c\\
&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\
&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^2+\frac{c}{a}\right)\\
&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^2-\frac{c}{a}\right)\\
&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\
&\geq -\frac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}

Seperti hasil yang sudah kita kenal bahwa untuk fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan $a > 0$, nilai minimumnya adalah $\dfrac{b^2-4ac}{-4a}$ yang dicapai ketika $x+\frac{b}{2a}=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$.

Atau contoh soal berikut dari Singapore Mathematical Olympiad Junior Round 1,

Diketahui bilangan real $x,y$ memenuhi persamaan $x^2+y^2+22x-20y+221=0$. Tentukan nilai $xy$
Jawabnya tidak susah, justru mudah. Tinggal lengkapkan bentuk kuadrat sempurna

\begin{align*}
&x^2+y^2+22x-20y+221=0\\
\Leftrightarrow & x^2+22x+121+y^2-20y+100=0\\
\Leftrightarrow & (x+11)^2+(y-10)^2=0
\end{align*}Kerena $(x+11)^2\geq 0$ dan $(y-10)^2\geq 0$, kesamaan terjadi hanya jika $x=-11$ dan $y=10$. Jadi, $xy=-110$.

Contoh di atas adalah aplikasi sederhana saja. Untuk lebih mengusai materi tentang identitas aljabar ini, ada baiknya Anda berlatih menggunakannya dalam soal. Semakin sering dan semakin biasa maka Anda akan semakin mudah mendapatkan ide ketika mengerjakan soal.

Soal Latihan Identitas Aljabar Dua Variabel

Nah, ini beberapa soal yang bisa digunakan untuk latihan

  1. Hitunglah nilai dari \begin{equation*} 1+4(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)\cdots(3^{2^{10}}+1) \end{equation*}
  2. Jika $a,b$ adalah dua bilangan real sehingga $a^2+b^2+8a-14b+65=0$. Tentukan nilai dari $a^2+ab+b^2$
  3. Jika diketahui $t+\frac{1}{t}=3$, carilah nilai dari $t^3+\frac{1}{t^3}$ dan $t^4+\frac{1}{t^4}$
  4. Untuk sebarang bilangan real $a,b,c$, tentukan nilai terkecil yang mungkin dari $3a^2+27b^2+5c^2-18ab-30c+237$
  5. Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan real maka tentukan nilai terkecil yang mungkin dari $(2x-3y-4)^2(2x-3y+10)^2$
  6. Jika $a-b=2$ dan $b-c=4$ maka tentukan nilai dari $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
  7. Jika $14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2$, tentukan nilai perbandingan $a:b:c$
  8. Diketahui $\dfrac{x}{x^2+3x+1}=a$, dengan $a\neq 0$. Carilah nilai dari $\dfrac{x^2}{x^4+3x^2+1}$ (nyatakan jawaban dalam $a$)
  9. Diketahui bahwa $x,y,z$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi \begin{align*} x+y+z&=6\\ x^2+y^2+z^2&=26\\ x^3+y^3+z^3&=90 \end{align*} Tentukan nilai $xyz$ dan $x^4+y^4+z^4$
  10. Diberikan bilangan-bilangan bulat $a,b,c,d$. Nyatakan bentuk $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat
  11. Jika $a,b,c,d>0$ dan $a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd$, buktikan bahwa $a=b=c=d$
  12. Jika $a+b=1$ dan $a^2+b^2=2$ carilah nilai $a^7+b^7$
  13. Diketahui bilangan real $a,b$ memenuhi $a^3+b^3+3ab=1$, tentukan nilai $a+b$
  14. Jika $a+b+c+d=0$ buktikan bahwa \begin{equation*} a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab) \end{equation*}
  15. Diketahui $a+b=c+d$ dan $a^3+b^3=c^3+d^3$. Buktikan bahwa $a^{2015}+b^{2015}=c^{2015}+d^{2015}$
  16. Jika $(a-2)^3+(b-2)^3+(c-2)^3=0$, $a^2+b^2+c^2=6$, dan $a+b+c=2$, maka buktikan bahwa setidaknya satu dari $a,b$ atau $c$ sama dengan 2
  17.  Jika $a+b+c=0$, maka buktikan $2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2$
  18. Diketahui $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3$, buktikan untuk sebarang bilangan asli $n$ berlaku \begin{equation*} a^{2n+1}+ b^{2n+1}+ c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1} \end{equation*} 

Jika masih ada yang bingung mengerjakan soal-soal di atas, mari kita berdiskusi bersama.  Selamat belajar!