Ketika sedang iseng membaca buku tentang teori bilangan, saya menemukan teorema yang sangat cantik (menurut saya). Teoremanya berbicara mengenai sifat bilangan prima. Berikut bunyi lengkap dari teorema tersebut,

Secara lebih operasional, teorema di atas bilang bahwa untuk setiap bilangan prima $p\equiv1\text{ mod }4$ kita selalu dapat menemukan dua bilangan asli $a$ dan $b$ dengan FPB$(a,b)=1$ sehingga berlaku $p=a^2+b^2$.

Untuk buktinya tidak saya tulis disini. Anda bisa mencarinya di buku-buku tentang teori bilangan. Atau mungkin Anda bisa membaca bukti yang ditulis oleh Mr. Geoff Smith (Leader UK IMO’s Team) di link ini.

Berawal dari teorema di atas, saya kembali teringat soal nomor 8 OSN Matematika SMA tahun 2014 kemarin. Bagi yang belum pernah membaca, berikut soal lengkapnya

Nah dari teorema yang baru saja saya sampaikan tadi, saya punya dugaan bahwa setiap bilangan prima $p\equiv1\text{ mod }4$ adalah bilangan cantik. Dan ternyata memang benar. Hal ini dikarenakan (setelah corat-coret) kita dapat tuliskan

\begin{equation*}
p=a^2+b^2=\frac{\Bigl(a(a+b)\Bigr)^2+\Bigl(b(a+b)\Bigr)^2}{\Bigl(a(a+b)\Bigr)+\Bigl(b(a+b)\Bigr)}
\end{equation*}
jadi dengan memilih $x=\Bigl(a(a+b)\Bigr)$ dan $y=\Bigl(b(a+b)\Bigr)$, sesuai definisi diperoleh $p$ adalah bilangan cantik.

Selanjutnya akan sangat natural sekali untuk menanyakan apakah kelipatan dari $p$ juga merupakan bilangan cantik? Atau lebih umum, jika $n$ adalah bilangan cantik maka apakah kelipatan dari $n$ juga bilangan cantik?

Dan cantiknya, jawaban dari pertanyaan di atas adalah ya. Untuk melihat sifat ini Anda bisa memandangnya dengan cara berikut. Misalkan $n$ adalah bilangan cantik maka sesuai dengan definisi, kita dapat nyatakan
\begin{equation*}
n=\frac{x^2+y^2}{x+y}
\end{equation*}
sehingga kelipatan dari $n$, tulislah sebagai $kn$, dapat dinyatakan sebagai berikut
\begin{equation*}
kn=\frac{(kx)^2+(ky)^2}{(kx)+(ky)}
\end{equation*}
sehingga terbukti bahwa $kn$ juga bilangan cantik.

Dari hasil sejauh ini dapat kita simpulkan

Dari hasil ini, menjadi sangat mudah untuk mencari contoh-contoh dari bilangan cantik. Contoh yang paling sederhana tentu adalah $5$. Sebagai gambaran saja(karena secara umum sudah dibuktikan di atas), kita dapat tuliskan

\begin{equation*}
5=\frac{3^2+6^2}{3+6}
\end{equation*}
Contoh bilangan cantik lainnya adalah $1007$. Sebab $1007=19\times53$, padahal $53\equiv1\text{ mod }4$.

Di sisi lain, kita bisa tunjukkan bahwa $2$ adalah bilangan tidak cantik. Sebab andaikan $2$ bilangan cantik maka kita dapat memilih dua bilangan asli berbeda $x$ dan $y$ yang memenuhi
\begin{equation*}
2=\frac{x^2+y^2}{x+y}
\end{equation*}
yang ekivalen dengan $x^2+y^2=2x+2y$ atau $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ yang hanya memiliki jawab $x=y=2$ yang bertentangan dengan fakta bahwa $x$ dan $y$ berbeda.

Jadi, karena $2014=2\times1007$ pertanyaan bagian (a) sudah terbukti.

Untuk menjawab pertanyaan bagian (b), mari kita identifikasi lebih jauh karakteristik dari bilangan cantik. Misalkan $n$ adalah bilangan cantik. Akibatnya bisa kita tulis
\begin{equation*}
n=\frac{x^2+y^2}{x+y}
\end{equation*}
Misalkan pula $FPB(x,y)=d$ sehingga bisa ditulis $x=da$ dan $y=db$ untuk suatu bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $FPB(a,b)=1$. Dan karena $x\neq y$ demikian pula $a\neq b$. Selanjutnya kita peroleh
\begin{equation*}
n=\frac{d^2(a^2+b^2)}{d(a+b)}=\frac{d(a^2+b^2)}{a+b}
\end{equation*}
Berkaca dari pengalaman mengerjakan soal yang berkaitan dengan FPB seperti ini, biasanya ada sifat-sifat khusus yang bisa dipakai. Misal jika $(a+b)$ dan $(a^2+b^2)$ saling prima, kita bisa peroleh bahwa $(a+b)$ membagi $d$. Hal yang seperti ini bisa Anda lihat misalnya pada solusi OSP SMA tahun 2013 nomor 4. Mirip-miriplah walau tidak sama persis.

Oleh karena itu, berguna sekali untuk mengidentifikasi FPB antara $(a+b)$ dan $(a^2+b^2)$. Untuk kepentingan itu kita bagi menjadi dua kasus (perlu dicatat bahwa pembagian kasus ini saya lakukan setelah coba-coba dulu tetapi tidak saya tuliskan proses coba-cobanya biar terlihat keren, 🙂 )

• Kasus 1, $a$ dan $b$ keduanya ganjil. Untuk kasus ini kita dapatkan $FPB((a+b),(a^2+b^2))=2$ akibatnya $FPB\left(\frac{a+b}{2},\frac{a^2+b^2}{2}\right)=1$. Sehingga dengan melihat bentuk
  \begin{equation*}
  n=\frac{d\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)}{\left(\frac{a+b}{2}\right)}
  \end{equation*}
  dapat kita katakan $\frac{a+b}{2}$ membagi $d$ sehingga $d=m\cdot\frac{a+b}{2}$. Akibatnya $n$ bisa ditulis menjadi
  \begin{equation*}
  n=m\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)=m\left(\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{4}\right)=m\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\right)
  \end{equation*}
•  Kasus 2, $a$ dan $b$ salah satu ganjil dan salah satu genap. Untuk kasus ini kita dapatkan $FPB((a+b),(a^2+b^2))=1$ akibatnya $(a+b)$ membagi $d$. Sehingga dapat ditulis $d=t(a+b)$. Oleh karena itu,
  \begin{equation*}
  n=t(a^2+b^2)
  \end{equation*}

Dari kedua kasus ini, apa yang kita dapatkan? Kita bisa simpulkan bahwa untuk setiap bilangan cantik $n$ kita selalu dapat menuliskan $n$ dalam bentuk $n=k(t^2+w^2)$ dengan $t$ dan $w$ adalah bilangan-bilangan asli berbeda yang saling prima.

Apa implikasi dari hasil di atas? Mungkin memang belum terlalu jelas. Namun jika Anda tahu teorema berikut, Anda akan segera tahu apa akibatnya

Dengan bantuan teorema di atas, dapat kita simpulkan bahwa bilangan cantik $n=k(t^2+w^2)$ selalu memiliki faktor prima berbentuk $p\equiv1\text{ mod }4$.

Dari proses yang panjang ini dapat kita simpulkan

Dengan hasil ini, jelas bahwa perkalian dua bilangan tidak cantik tetap menghasilkan bilangan tidak cantik sebab hasil perkalian kedua bilangan tersebut tentu tetap tidak memiliki faktor prima berbentuk $4k+1$. Jadi, bagian (b) terbukti.

Wah ternyata panjang juga ya. Tetapi tenang jika ditulis untuk solusi formal artinya ditulis lebih rapi, akan jauh lebih singkat.

Dan akhirnya, sampai pada bagian terakhir. Jika Anda punya pertanyaan, saran, koreksi, perbaikan dan sejenisnya mari kita diskusi bersama. Perlu dicatat, andai saya ikut OSN tahun ini tentu nomor 8 juga saya kosongi. Ataupun kalau diisi paling sebatas kuli bagian (a), hehehe