Pada pembahasan soal nomor 2, 4 dan 8 OSN SMA tahun 2014 sebelumnya, kita sudah banyak bermain dengan aljabar dan teori bilangan. Kini saatnya kita sedikit refreshing dengan melupakan segala macam manipulasi aljabar dan mencoba menengok soal-soal geometri OSN 2014.

Untuk tahun 2014, ada dua soal geometri. Tepatnya nomor 3 dan nomor 6. Untuk tingkat kesulitannya sendiri, secara pribadi saya menilai tidak terlalu susah. Perlu digarisbawahi, saya bisa beranggapan semacam ini karena saya tidak terbatas waktu ketika mencoba mengerjakan. Dan tujuan ketika mengerjakan juga semata-mata untuk refreshing saja. Ini tentu berbeda dengan peserta lomba yang memiliki banyak tekanan, baik waktu maupun ketatnya persaingan. Jadi, bisa jadi soalnya menjadi relatif susah. Tetapi bagaimanapun, soal geometri memang selalu mengasyikkan 🙂

Pertama, mari kita mencoba melihat soal geometri nomor tiga OSN SMA 2014.

Diberikan trapesium $ABCD$ dengan $AB$ sejajar $CD$ dan $AB < CD$. Misalkan diagonal $AC$ dan $BD$ bertemu di $E$ dan misalkan garis $AD$ dan $BC$ bertemu di titik $F$. Bangun jajar genjang $AEDK$ dan $BECL$. Buktikan bahwa garis $EF$ melalui titik tengah segmen $KL$.
Langkah awal untuk menyelesaikan kebanyakan soal geometri, saran saya adalah, buatlah gambar sebaik dan (kalau bisa) seakurat mungkin. Hal ini akan banyak membantu Anda mendapatkan ide untuk menyelesaikan soal.

Untuk soal ini, berikut gambar yang saya buat.soal geometri osn sma 2014

Perpanjang garis $KD$ dan $LC$ sehingga berpotongan di titik $G$. Karena $DG$ sejajar $EC$ dan $DE$ sejajar $GC$ maka $DGCE$ adalah jajargenjang. Misalkan pula diagonal $DC$ dan $EG$ berpotongan di $P$. Jelas bahwa $P$ titik tengah $DC$.

Untuk langkah selanjutnya, misalkan perpanjangan garis $FE$ memotong $DC$ di $P’$. Berdasarkan dalil Ceva diperoleh
\begin{equation*}
\frac{FA}{AD}\cdot\frac{DP’}{P’C}\cdot\frac{CB}{BF}=1
\end{equation*}Namun karena $AB$ sejajar $DC$, kita juga punya
\begin{equation*}
\frac{FA}{AD}=\frac{FB}{BC}
\end{equation*}akibatnya diperoleh $DP’=P’C$. Itu artinya $P=P’$. Jadi, bisa disimpulkan bahwa titik-titik $F,E,P,G$ segaris.

Dan untuk sentuhan terakhir, perhatikan bahwa
\begin{equation*}
\frac{GD}{DK}=\frac{CE}{EA}=\frac{DE}{EB}=\frac{GC}{CL}
\end{equation*}sehingga $DC$ sejajar $KL$.

Misalkan $FG$ dan $KL$ berpotongan di $Q$. Kita peroleh
\begin{equation*}
\frac{KQ}{DP}=\frac{QG}{PG}=\frac{QL}{PC}
\end{equation*}ingat bahwa $DP=PC$, maka tentu saja $KQ=QL$. Jadi, dengan hasil ini telah terbukti bahwa garis $FE$ melalui titik tengah segmen $KL$.

Yes, nomor 3 sudah selesai. Ada yang masih mau bertanya? Monggo kolom komentar selalu terbuka untuk Anda.

Sekarang lanjut ke soal OSN 2014 nomor 6. Soalnya seperti ini,

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AD$ sebagai garis bagi dalam $\angle BAC$. Misalkan titik $M$ dan $N$ berturut-turut pada $AB$ dan $AC$ sehingga $\angle MDA=\angle ABC$ dan $\angle NDA=\angle ACB$. Jika $P$ merupakan titik potong dari garis $AD$ dan garis $MN$, buktikan bahwa \begin{equation*} AD^3=AB\cdot AC\cdot AP \end{equation*}
Yang saya suka dari soal ini, kita tidak perlu ribet-ribet menambah garis bantu atau mendefinisikan titik baru. Semua konstruksi sudah ada pada soal. Tinggal dieksplorasi saja. Tips dari saya, cari segitiga-segitiga sebangun dan kumpulkan informasi sebanyak mungkin. Oh ya, jangan lupa digambar yang cantik dulu yak.

soal geometri osn sma 2014  nomor 6Perhatikan, segitiga $AMD$ dan segitiga $ADB$ sebangun. Sehingga diperoleh
\begin{equation*}
\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AD}\Leftrightarrow AD^2=AB\cdot AM\quad …..(1)
\end{equation*}kita juga punya segitiga $AND$ dan segitiga $ADC$ sebangun, akibatnya
\begin{equation*}
\frac{AD}{AC}=\frac{AN}{AD}\Leftrightarrow AD^2=AC\cdot AN\quad …..(2)
\end{equation*}Selain itu perhatikan pula bahwa
\begin{equation*}
\angle MAN+\angle MDN=\angle BAC+\angle MDA+\angle NDA=\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ
\end{equation*}Jadi, $AMDN$ adalah segiempat talibusur. Akibatnya diperoleh $\angle MDA=\angle ANP$. Sehingga dipunyai segitiga $AMD$ sebangun dengan segitiga $APN$. Oleh karena itu diperoleh
\begin{equation*}
\frac{AM}{AP}=\frac{AD}{AN}\Leftrightarrow AP=\frac{AM\cdot AN}{AD}\quad …..(3)
\end{equation*}
Sekarang amunisi sudah siap. Tinggal sentuhan terakhir. Dari pers.(1) dan pers.(2) diperoleh
\begin{equation*}
AD^4=AB\cdot AC\cdot AM\cdot AN\Leftrightarrow AD^3=AB\cdot AC\cdot\frac{AM\cdot AN}{AD}
\end{equation*}Namun dengan memperhatikan pers.(3) diperoleh
\begin{equation*}
AD^3=AB\cdot AC\cdot AP
\end{equation*}seperti yang diharapkan 🙂

Jangan lupa baca juga :
Solusi Nomor 2 OSN Matematika SMA 2014
Solusi Nomor 4 OSN Matematika SMA 2014
Solusi Nomor 8 OSN Matematika SMA 2014