Sebelumnya saya telah membahas soal nomor 8 OSN Matematika SMA 2014. Yaitu soal tentang bilangan cantik. Untuk kali ini, saya akan kembali membahas soal terakhir hari pertama OSN SMA 2014. Soal nomor 4 lebih tepatnya.

Soal nomor 4 OSN SMA 2014 bercerita tentang polinom yang dikaitkan dengan segitiga siku-siku. Berikut soal lengkapnya

Tentukan semua polinom dengan koefisien bulat $P(x)$ sehingga untuk setiap bilangan asli $a,b,c$ yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, berlaku $P(a),P(b),P(c)$ juga merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Catatan: Jika $c$ sisi miring, $P(c)$ tidak harus merupakan sisi miring.

Pertama kali membaca soal ini, maka satu komentar saya : Polinom $P(x)$ itu sakti amat ya. Jika setiap  tripel pytagoras $a,b,c$ disubstitusikan ke dalam polinom $P(x)$ maka hasilnya juga merupakan tripel pytagoras. Hmmm, sepertinya tak banyak polinom yang seperti ini. Dan sebagaimana kebanyakan soal-soal seperti ini, jawabannya paling ya kalau tidak polinom konstan, linier, kuadratik mentok-mentok kubik tapi yang sederhana.

Untuk soal ini, jelas polinom konstan tidak memenuhi. Untuk selanjutnya observasi kita mulai dari polinom linier. Sebelum memulai observasi, ingat bahwa $(3,4,5)$ adalah tripel pytagoras (paling jadul yang saya ketahui, hehehe). Demikian pula, untuk sebarang bilangan bulat positif $k$, maka $(3k,4k,5k)$ juga merupakan tripel pytagoras.

Observasi Polinom Linier

Misal $P(x)=a_1x+a_0$. Karena $P(3k)$ adalah sisi segitiga maka haruslah $a_1 > 0$. Jika tidak akan diperoleh untuk $k$ yang cukup besar maka $P(3k)$ bisa bernilai negatif (dan menurut saya itu tidak boleh terjadi). Hal ini, berakibat $P(5k)$ adalah sisi miring. Oleh karena itu diperoleh
\begin{align*}
\Bigl(P(5k)\Bigr)^2&=\Bigl(P(3k)\Bigr)^2+\Bigl(P(4k)\Bigr)^2\\
&\Leftrightarrow 4a_1a_0k+a_0^2=0\\
&\Leftrightarrow a_0(4a_1k+a_0)=0
\end{align*}
tetapi jika $k$ dibuat sangat besar kita bisa peroleh $4a_1k+a_0 > 0$ sehingga haruslah $a_0=0$.

Jadi, kita peroleh polinom linier $P(x)=a_1x$ dan mudah dicek bahwa polinom ini memenuhi.

Sejauh ini belum ada progres berarti untuk menjawab soal ini. Selain tentu saja, kita peroleh solusi untuk polinom linier. Oleh karena itu, lanjutkan observasi ke polinom kuadrat

Observasi Polinom Kuadrat

Misal $P(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ maka

\begin{equation*}
\Bigl(P(x)\Bigr)^2=a_2^2x^4+2a_2a_1x^3+(2a_2a_0+a_1^2)x^2+2a_1a_0x+a_0^2
\end{equation*}

Pertama kita tinjau untuk kasus $P(5k)$ sisi miring. Untuk kasus ini diperoleh hubungan
\begin{align*}
\Bigl(P(5k)\Bigr)^2&=\Bigl(P(3k)\Bigr)^2+\Bigl(P(4k)\Bigr)^2\\
&\Leftrightarrow 288a_2^2k^4+68a_2a_1k^3-4a_1a_0-a_0^2=0
\end{align*}
Bentuk yang terakhir tentu bisa kita lihat akan sangat susah (dan pasti tidak mungkin) untuk benar pada setiap pilihan $k$. Sebab ruas kiri pasti positif untuk $k$ yang besar. Untuk melihat secara lebih jelas, kita dapat pergunakan bantuan limit
\begin{align*}
\lim\limits_{k\to \infty}\Bigl( 288a_2^2k^4+68a_2a_1k^3-4a_1a_0k-a_0^2\Bigr)&=\lim\limits_{k\to \infty} 0\\
\lim\limits_{k\to \infty}\left( 288a_2^2+\frac{68a_2a_1}{k}-\frac{4a_1a_0}{k^3}-\frac{a_0^2}{k^4}\right)&=\lim\limits_{k\to \infty} 0\\
288a_2^2&=0
\end{align*}
yang jelas tidak mungkin. Jadi tidak ada polinom kuadrat yang memenuhi syarat seperti pada soal.

Dari hasil observasi pada polinom kuadrat, kita peroleh bahwa untuk kasus $k$ sangat besar persamaan pytagoras sangat susah untuk berlaku, dan dengan bantuan limit menjadi lebih mudah untuk dilihat. Dan tentu saja teknik ini dapat diterapkan untuk derajat yang lebih tinggi.

Observasi Polinom Derajat $n\geq 3$

Oke, mari sekarang kita perumum hasil yang telah diperoleh pada polinom kuadrat. Misalkan $P(x)$ adalah polinom berderajat $n$ dengan $n\geq 3$ yaitu
\begin{equation*}
P(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i,\quad a_n\neq0
\end{equation*}
selanjutnya diperoleh
\begin{equation*}
\Bigl(P(x)\Bigr)^2=\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}a_ia_jx^{i+j}
\end{equation*}
Untuk kasus $P(5k)$ menjadi sisi miring, diperoleh
\begin{align*}
\Bigl(P(5k)\Bigr)^2&=\Bigl(P(3k)\Bigr)^2+\Bigl(P(4k)\Bigr)^2\\
\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}a_ia_j(5k)^{i+j}&=\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}a_ia_j(3k)^{i+j}+\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}a_ia_j(4k)^{i+j}\\
\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}\frac{a_ia_j(5k)^{i+j}}{k^{2n}}&=\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}\frac{a_ia_j(3k)^{i+j}}{k^{2n}}+\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}\frac{a_ia_j(4k)^{i+j}}{k^{2n}}\\
\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}\frac{a_ia_j(5k)^{i+j}}{k^{2n}}&= \lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}\frac{a_ia_j(3k)^{i+j}}{k^{2n}}+ \lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{0\leq i,j\leq n}\frac{a_ia_j(4k)^{i+j}}{k^{2n}}\\
25^n&=9^n+16^n
\end{align*}
Akan tetapi untuk $n\geq 3$, jelas bahwa $25^n=(9+16)^n>9^n+16^n$. Jadi, untuk kasus ini tidak ada polinom derajrat $n\geq 3$ yang memenuhi.

Untuk dua kasus lain yaitu $P(3k)$ dan $P(4k)$ sebagai sisi miring tidak perlu lagi dicek. Sebab, berdasarkan statment dari soal maka haruslah $a_n>0$, dan katakanlah $x_n$ adalah akar terbesar dari $P(x)$.  Akibatnya pada interval $(x_n,\infty), P(x)$ monoton naik. Oleh karena itu jika kita ambil $k> x_n$ maka pastilah $P(5k)> P(4k) > P(3k)$. Jadi $P(5k)$ menjadi sisi miring. Dan berdasarkan hasil di atas, tidak ada yang memenuhi.

Jadi, semua polinom $P(x)$ yang memenuhi kondisi pada soal adalah polinom linier $P(x)=a_1x$ dengan $a_1 > 0$.

Demikian solusi nomor 4 OSN Matematika SMA 2014. Ingat bahwa solusi di atas adalah solusi untuk belajar bukan solusi untuk disummit ke dewan juri. Jadi, setelah Anda paham dengan ide dari solusi di atas maka ada baiknya Anda belajar menulis ulang solusi tersebut. Tentunya dengan bahasa yang lebih formal dan alur yang lebih padat serta jelas.