Pada dasarnya kemampuan saya dalam memecahkan soal-soal yang berkaitan dengan integral termasuk lemah. Saya tidak terlalu paham teknik. Metode-metode yang biasa digunakan dalam pengintegralan saya juga kurang tahu. Dan masih banyak alasan lain yang membuat saya lemah diintegral.

Nah, karena saya lemah diintegral makanya saya mau belajar. Dan halaman web yang sedang Anda baca ini adalah salah satu cara saya untuk mendokumentasikan soal-soal integral yang berhasil saya selesaikan. Jika menurut saya menarik, akan saya tulis pada halaman ini.

Inginnya saya, dengan adanya dokumentasi ini, jika suatu ketika saya lupa bisa saya baca ulang. Mungkin juga bisa diwariskan ke anak cucu, hehehe. Wah yang ini lebay kali ya.

Kalau ada pembaca yang mau tanya tentang soal  integral juga boleh. Jika ada soal integral yang belum terpecahkan mari kita diskusikan bersama. Saya tidak berjanji bahwa soal yang Anda tanyakan, bisa saya selesaikan. Namun, setidaknya saya bisa menjadi teman diskusi dan teman berbagi pengalaman. Siapa tahu dengan begitu solusinya bisa tiba-tiba muncul dari langit, hehehe, ngarep banget.

Nah, ada yang mau bertanya? Ayo silakan.

Sedikit informasi, blog saya sudah support Latex. Oleh karena itu, agar lebih mudah dipahami, soal-soal yang ditanyakan sangat diharapkan ditulis dalam Latex.

Saya mulai dokumentasi pertama saya.

No.1  Hitunglah $\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin x+\tan x}\, dx$
Lakukan sedikit modifikasi terlebih dahulu terhadap bentuk yang diintegralkan

\begin{equation*}
\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin x+\tan x}\, dx=\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x(\cos x+1)}\, dx
\end{equation*}
Misal, $t=\cos x$ maka diperoleh $\frac{dt}{dx}=-\sin x$. Substitusikan ke pers. di atas sehingga diperoleh
\begin{align*}
\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x(\cos x+1)}\, dx&=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}\frac{t}{(1-t^2)(1+t)}\, dt\\
&=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{t}{(1-t^2)(1+t)}\, dt
\end{align*}
Gunakan pecahan fraksial untuk menyederhanakan bentuk $\frac{t}{(1-t^2)(1+t)}$ sehingga menjadi
\begin{equation*}
\frac{t}{(1-t^2)(1+t)}=\frac{\frac{1}{4}}{1-t}+\frac{\frac{1}{4}}{1+t}+\frac{-\frac{1}{2}}{(1+t)^2}
\end{equation*}
Sehingga integralnya menjadi
\begin{align*}
\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{t}{(1-t^2)(1+t)}\, dt&=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}-\frac{2}{(1+t)^2}\, dt\\
&=\frac{1}{4}\left[-\ln |1-t|+\ln |1+t|+\frac{2}{1+t}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}\\
&=\frac{1}{4}\left((-\ln \frac{1}{2}+\ln\frac{3}{2}+\frac{4}{3})-(-\ln 1+\ln 1+2)\right)\\
&=\frac{1}{4}\left(\ln 3-\frac{2}{3}\right)
\end{align*}

No.2 Hitunglah $\displaystyle \int x\sqrt{\frac{3-x}{1+x}}\, dx$
When i first attempt this problem, trig substitution is firstly came to my mind. But the hardest part is to find the right substitution. Once you get it, everything became easier.
And here we go. Let $x=4\cos^2\theta-1$, hence we get
\begin{equation*}
\frac{dx}{d\theta}=-8\sin\theta\cos\theta\quad\text{and }\sqrt{\frac{3-x}{1+x}}=\tan\theta
\end{equation*}
therefore
\begin{align*}
\int x\sqrt{\frac{3-x}{1+x}}\, dx&=\int (4\cos^2\theta-1)\tan\theta(-8)\sin\theta\cos\theta\, d\theta\\
&=-8\int (4\cos^2\theta-1)\sin^2\theta \, d\theta\\
&=-8\int \sin^2(2\theta)-\sin^2\theta \, d\theta\\
&=-4\int 2\sin^2(2\theta)-2\sin^2\theta \, d\theta\\
&=-4\int 1-\cos(4\theta)+\cos(2\theta)-1\, d\theta\\
&=4\int \cos(4\theta)-\cos(2\theta)\, d\theta\\
&=4\left(\frac{1}{4}\sin(4\theta)-\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+c\\
&=\sin(4\theta)-2\sin(2\theta)+c\\
&=\sin(2\theta)\Bigl(2\cos(2\theta)-2\Bigr)+c\\
&=2\sin\theta\cos\theta\Bigl(4\cos^2\theta-4\Bigr)+c\\
&=\frac{1}{2}\tan\theta\cdot4\cos^2\theta\Bigl(4\cos^2\theta-4\Bigr)+c\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3-x}{1+x}}(x+1)(x-3)+c
\end{align*}

No.3 Tentukan $\displaystyle \int x^3\csc^2(x^2)\,dx$

Soalnya ini simpel. Akan tetapi, pertama kali melihatnya saya tidak punya ide. Namun, karena melihat bentuk $\csc^2(x^2)$ saya jadi terpikir, $\csc^2 x$ itu turunan dari fungsi apa? Dan tidak terlalu susah untuk dibuktikan bahwa $\dfrac{d[\cot x]}{dx}=-\csc^2 x$. Oleh karena itu, $\dfrac{d[\cot (x^2)]}{dx}=-2x\csc^2 (x^2)$.

Jika sudah ingat sampai sejauh ini dan digabung integral parsial, maka soalnya jadi tidak terlalu susah. We proceed as follow, 😀
\begin{align*}
\int x^3\csc^2(x^2)\,dx&=-\frac{1}{2}\int x^2(-2x\csc^2(x^2))\,dx\\
&=-\frac{1}{2}\int x^2d[\cot(x^2)]\\
&=-\frac{1}{2}\left[x^2\cot(x^2)-\int\cot(x^2)\cdot 2x\,dx\right]\\
&=-\frac{x^2\cot(x^2)}{2}+\frac{1}{2}\int2x\cdot\frac{\cos (x^2)}{\sin(x^2)}\,dx\\
&=-\frac{x^2\cot(x^2)}{2}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin(x^2)}\,d[\sin(x^2)]\\
&=-\frac{x^2\cot(x^2)}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sin(x^2)|+C
\end{align*}