Pernah lihat bilangan seperti ini $1+i$ atau $2-4i$? Jika sudah, artinya Anda pernah bertemu dengan bilangan kompleks. Atau mungkin pernah mempelajarinya secara khusus. Bagi yang belum pernah belajar tidak apa-apa. Sebagai dasar silakan Anda baca penjelasan mengenai bilangan kompleks di sini.

Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk $z=a+bi$, dengan $a$ dan $b$ keduanya bilangan real. Lebih jauh bentuk $z=a+bi$ dapat pula dinyatakan dalam bentuk lain yaitu
\begin{equation*}
z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{equation*}dengan $r=\sqrt{a^2+b^2}$, biasa dikenal sebagai modulus dari $z$. Sedangkan $\theta$ adalah argument dari $z$.

Ada satu teorema yang cukup terkenal di bilangan kompleks. Teorema yang saya maksud adalah Teorema De Moivre. Bunyi sebagai berikut :

Untuk setiap bilangan kompleks $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ dan bilangan bulat $n$ berlaku \begin{equation*} z^n=r^n\bigl(\cos (n\theta)+i\sin (n\theta)\bigr) \end{equation*}
 Untuk buktinya tidak saya sertakan. Bisa coba Anda buktikan sendiri atau salah satu buktinya bisa Anda cek di sini.

Saya, pada kesempatan kali ini, akan menyampaikan aplikasi dari teorema ini di bidang trigonometri. Sebelumnya, perhatikan bahwa jika $z=\cos\theta+i\sin\theta$ maka
\begin{equation*}
\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos\theta+i\sin\theta}=\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\cos\theta-i\sin\theta
\end{equation*}Dari sini Anda bisa memperoleh bentuk
\begin{align*}
\cos\theta&=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\\
\sin\theta&=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)
\end{align*}
Dengan menggunakan Teorema De Moivre, hasil di atas dapat kita perumum yaitu untuk sebarang bilangan bulat $n$ berlaku
\begin{align*}
\cos(n\theta)&=\frac{1}{2}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right)\\
\sin(n\theta)&=\frac{1}{2i}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)
\end{align*}
Selanjutnya mari kita memanfaatkan apa yang telah kita punya tersebut di bidang trigonometri. Sebagai awal, kita mulai dengan yang mudah dulu dengan membuktikan identitas
\begin{equation*}
\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1
\end{equation*}Untuk ini, misalkan $z=\cos\theta+i\sin\theta$ maka diperoleh
\begin{align*}
\cos 2\theta&=\frac{1}{2}\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-2\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(4\cos^2\theta-2\right)\\
&=2\cos^2\theta-1
\end{align*}
Atau pernah lihat identitas seperti ini (saya sih sering lihat, tapi lebih sering lagi lupa, =))
\begin{equation*}
\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{equation*}Jika Anda juga pelupa seperti saya (mudah-mudahan tidak), tentunya bukan masalah besar, sebab Anda dapat mencarinya dengan mudah
\begin{align*}
\cos 3\theta&=\frac{1}{2}\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(z^2-1+\frac{1}{z^2}\right)\right)\\
&=\frac{1}{2}(2\cos\theta)\left(4\cos^2\theta-3\right)\\
&=4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{align*}
Mudah bukan?

Selanjutnya kita teruskan dengan soal klasik berikut

Carilah nilai dari
\begin{equation*}
\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)
\end{equation*}Mulainya standar, misalin $z=\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$ maka diperoleh $z^7=\cos \pi+i\sin\pi=-1$. Sehingga $z^8=-z$ dan $z^{10}=-z^3$. Selain itu, juga diperoleh
\begin{align*}
z^7+1&=0\\
(z+1)(z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1)&=0\\
z^6+z^4-z^3+z^2-z+1)&=z^5
\end{align*}Akhirnya kita dapatkan
\begin{align*}
\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)&=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}+z^3+\frac{1}{z^3}+z^5+\frac{1}{z^5}\right)\\
&=\frac{1}{2z^5}\left(z^6+z^4+z^8+z^2+z^{10}+1\right)\\
&=\frac{1}{2z^5}\left(z^6+z^4-z+z^2-z^3+1\right)\\
&=\frac{1}{2z^5}\cdot z^5\\
&=\frac{1}{2}
\end{align*}

Nah, sampai pada contoh terakhir. Saya pernah ditanya berapa nilai dari $\cos 36^\circ$. Dengan tool yang telah kita miliki, untuk mencari nilai $\cos 36^\circ$ bukan hal yang susah.

Setting $z=\cos 36^\circ+i\sin 36^\circ$ sehingga $z^5=-1$, akibatnya
\begin{align*}
z^5+1=0&\Leftrightarrow (z+1)(z^4-z^3+z^2-z+1)=0\\
&\Leftrightarrow z^4-z^3+z^2-z+1=0\\
&\Leftrightarrow z^2+\frac{1}{z^2}-z-\frac{1}{z}+1=0\\
&\Leftrightarrow \left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(z+\frac{1}{z}\right)-1=0
\end{align*}Misalkan $z+\frac{1}{z}=a$, maka diperoleh persamaan kuadrat $a^2-a-1=0$ yang memiliki solusi positif
\begin{equation*}
a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}Oleh karena itu diperoleh
\begin{equation*}
\cos 36^\circ=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
\end{equation*}

Pada bagian terakhir, tak lupa saya sertakan beberapa soal untuk latihan. Bagi pembaca yang tertarik untuk memperdalam materi ini silakan dicoba soal-soal berikut :

  1. Tentukan nilai dari $\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ$
  2. Buktikan bahwa
    \begin{equation*}
    \frac{1}{\cos 6^\circ}+\frac{1}{\sin 24^\circ}+\frac{1}{\sin 48^\circ}=\frac{1}{\sin 12^\circ}
    \end{equation*}
  3. Hitunglah nilai dari $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$
  4. Buktikan bahwa
    \begin{equation*}
    \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{n}\right)\cdots\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}
    \end{equation*}
  5. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan di bawah ini
    \begin{equation*}
    \sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x
    \end{equation*}