Pernah lihat bilangan seperti ini $1+i$ atau $2-4i$? Jika sudah, artinya Anda pernah bertemu dengan bilangan kompleks. Atau mungkin pernah mempelajarinya secara khusus. Bagi yang belum pernah belajar tidak apa-apa. Sebagai dasar silakan Anda baca penjelasan mengenai bilangan kompleks di sini.
Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk $z=a+bi$, dengan $a$ dan $b$ keduanya bilangan real. Lebih jauh bentuk $z=a+bi$ dapat pula dinyatakan dalam bentuk lain yaitu
\begin{equation*}
z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{equation*}dengan $r=\sqrt{a^2+b^2}$, biasa dikenal sebagai modulus dari $z$. Sedangkan $\theta$ adalah argument dari $z$.
Ada satu teorema yang cukup terkenal di bilangan kompleks. Teorema yang saya maksud adalah Teorema De Moivre. Bunyi sebagai berikut :
Saya, pada kesempatan kali ini, akan menyampaikan aplikasi dari teorema ini di bidang trigonometri. Sebelumnya, perhatikan bahwa jika $z=\cos\theta+i\sin\theta$ maka
\begin{equation*}
\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos\theta+i\sin\theta}=\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\cos\theta-i\sin\theta
\end{equation*}Dari sini Anda bisa memperoleh bentuk
\begin{align*}
\cos\theta&=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\\
\sin\theta&=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)
\end{align*}
Dengan menggunakan Teorema De Moivre, hasil di atas dapat kita perumum yaitu untuk sebarang bilangan bulat $n$ berlaku
\begin{align*}
\cos(n\theta)&=\frac{1}{2}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right)\\
\sin(n\theta)&=\frac{1}{2i}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)
\end{align*}
Selanjutnya mari kita memanfaatkan apa yang telah kita punya tersebut di bidang trigonometri. Sebagai awal, kita mulai dengan yang mudah dulu dengan membuktikan identitas
\begin{equation*}
\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1
\end{equation*}Untuk ini, misalkan $z=\cos\theta+i\sin\theta$ maka diperoleh
\begin{align*}
\cos 2\theta&=\frac{1}{2}\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-2\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(4\cos^2\theta-2\right)\\
&=2\cos^2\theta-1
\end{align*}
Atau pernah lihat identitas seperti ini (saya sih sering lihat, tapi lebih sering lagi lupa, =))
\begin{equation*}
\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{equation*}Jika Anda juga pelupa seperti saya (mudah-mudahan tidak), tentunya bukan masalah besar, sebab Anda dapat mencarinya dengan mudah
\begin{align*}
\cos 3\theta&=\frac{1}{2}\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(z^2-1+\frac{1}{z^2}\right)\right)\\
&=\frac{1}{2}(2\cos\theta)\left(4\cos^2\theta-3\right)\\
&=4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{align*}
Mudah bukan?
Selanjutnya kita teruskan dengan soal klasik berikut
Carilah nilai dari
\begin{equation*}
\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)
\end{equation*}Mulainya standar, misalin $z=\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$ maka diperoleh $z^7=\cos \pi+i\sin\pi=-1$. Sehingga $z^8=-z$ dan $z^{10}=-z^3$. Selain itu, juga diperoleh
\begin{align*}
z^7+1&=0\\
(z+1)(z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1)&=0\\
z^6+z^4-z^3+z^2-z+1)&=z^5
\end{align*}Akhirnya kita dapatkan
\begin{align*}
\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)&=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}+z^3+\frac{1}{z^3}+z^5+\frac{1}{z^5}\right)\\
&=\frac{1}{2z^5}\left(z^6+z^4+z^8+z^2+z^{10}+1\right)\\
&=\frac{1}{2z^5}\left(z^6+z^4-z+z^2-z^3+1\right)\\
&=\frac{1}{2z^5}\cdot z^5\\
&=\frac{1}{2}
\end{align*}
Nah, sampai pada contoh terakhir. Saya pernah ditanya berapa nilai dari $\cos 36^\circ$. Dengan tool yang telah kita miliki, untuk mencari nilai $\cos 36^\circ$ bukan hal yang susah.
Setting $z=\cos 36^\circ+i\sin 36^\circ$ sehingga $z^5=-1$, akibatnya
\begin{align*}
z^5+1=0&\Leftrightarrow (z+1)(z^4-z^3+z^2-z+1)=0\\
&\Leftrightarrow z^4-z^3+z^2-z+1=0\\
&\Leftrightarrow z^2+\frac{1}{z^2}-z-\frac{1}{z}+1=0\\
&\Leftrightarrow \left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(z+\frac{1}{z}\right)-1=0
\end{align*}Misalkan $z+\frac{1}{z}=a$, maka diperoleh persamaan kuadrat $a^2-a-1=0$ yang memiliki solusi positif
\begin{equation*}
a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}Oleh karena itu diperoleh
\begin{equation*}
\cos 36^\circ=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
\end{equation*}
Pada bagian terakhir, tak lupa saya sertakan beberapa soal untuk latihan. Bagi pembaca yang tertarik untuk memperdalam materi ini silakan dicoba soal-soal berikut :
- Tentukan nilai dari $\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ$
- Buktikan bahwa
\begin{equation*}
\frac{1}{\cos 6^\circ}+\frac{1}{\sin 24^\circ}+\frac{1}{\sin 48^\circ}=\frac{1}{\sin 12^\circ}
\end{equation*} - Hitunglah nilai dari $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$
- Untuk bilangan asli $n\geq2$, buktikan bahwa
\begin{equation*}
\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{2n}\right)\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2n}\right)\cdots\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}
\end{equation*} - Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan di bawah ini
\begin{equation*}
\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x
\end{equation*}
bagus materinya
Pa boleh minta pembahasan yg soal soal latihan paling bawahnya ya? Terima kasih banyak.
yg no 3 pakai polinomial kubik , cos〖2π/7〗=1/6 (-1+∛(7/2 (1-3√3) )+∛(7/2 (1+3√3) ))
Yang no. 3 , cos (2π/7) + cos (4π/7) + cos (6π/7) = z6+z1 + z2+z5 + z3+z4 = -1 benar tidak ?
Materi yang sangat baguss
Yang no 4 untuk $n=3$, kenapa ga berlaku ya?
$$sin 60^circ cdot sin 120^circ = frac{1}{2}sqrt{3} cdot frac{1}{2}sqrt{3} = frac{3}{4} neq frac{sqrt{3}}{4}$$
Atau sebenarnya itu $frac{n}{2^{n-1}}$.
Terimakasih atas koreksinya. Soalnya sudah saya perbaiki.
Dapet rekomendasi dari teman,alhamdulillah lgsg paham ?