Jika diberikan segitiga $ABC$ dengan ketiga sisi-sisinya diketahui, misalkan $BC=a$, $CA=b$ dan $AB=c$, maka mudah bagi kita untuk menentukan luas segitiga tersebut. Salah satu yang termudah adalah dengan menggunakan rumus berikut
\begin{equation*}
[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{equation*}dengan $s=\frac{a+b+c}{2}$. Rumus di atas dikenal sebagai Rumus Heron untuk mencari luas segitiga.

Secara mandiri saya belum pernah membuktikan Rumus Heron tersebut. Namun, saya sudah sangat sering membaca bukti dari orang lain. Di Wikipedia misalnya, Anda dapat membaca beberapa bukti dari Rumus Heron. Link yang bisa Anda kunjungi untuk mempelajari bukti Rumus Heron salah satunya adalah Heron’s formula

Pada link yang saya berikan di atas, terdapat tiga cara pembuktian Rumus Heron. Pertama dengan aturan Cosinus, kedua dengan dalil Phytagoras dan ketiga dengan rumus Tangent. Dari ketiga bukti tersebut, saya paling suka dengan bukti ketiga. Oleh karena itu, pada postingan kali ini saya akan menulis ulang untuk bukti Rumus Heron dengan bantuan rumus Tangent. Semoga tulisan saya ini bisa lebih memudahkan Anda memahami bukti tersebut.

Untuk memahami bukti Rumus Heron dengan bantuan Tangent, ada baiknya Anda terlebih dahulu mengetahui fakta berikut ini :

Jika $A+B+C=180^\circ$ dan $0^\circ<A,B,C<90^\circ$ maka berlaku \begin{equation*} \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C \end{equation*}

Untuk buktinya, ingat rumus jumlah dua sudut untuk fungsi tangent.
\begin{align*}
\tan C&=\tan(180^\circ-(A+B))\\
&=-\tan(A+B)\\
&=\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\cdot\tan B-1}
\end{align*}Jadi diperoleh $\tan C(\tan A\cdot\tan B-1)=\tan A+\tan B$ yang ekuivalen dengan $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C$.

Selanjutnya, misalkan $D$, $E$ dan $F$ berturut-turut adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga $ABC$ terhadap sisi $BC$, $CA$ dan $AB$. Misalkan pula $I$ adalah pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan $r$ panjang jari-jari lingkaran dalamnya.

Bukti Rumus Heron

seharusnya sudah cukup familiar bahwa $AE=AF=s-a$, $BD=BF=s-b$ dan $CD=CE=s-c$. Bagi yang belum terbiasa dengan fakta ini, bisa memahaminya sebagai berikut. Misalkan $AE=AF=x$, $BD=BF=y$ dan $CD=CE=z$. Jelas bahwa $x+y+z=s$. Oleh karena itu, $x=s-(y+z)=s-a$. Bentuk yang lain mengikuti.

Perhatikan pula bahwa $AEI=90^\circ$ dan $\angle IAE=\frac{\angle A}{2}$ sehingga $\angle AIE=90^\circ-\frac{\angle A}{2}$. Diperoleh pula
\begin{equation*}
\tan(\angle AIE)=\frac{AE}{IE}=\frac{s-a}{r}
\end{equation*}Dengan cara serupa diperoleh pula
\begin{align*}
\tan(\angle BIF)&=\frac{BF}{IF}=\frac{s-b}{r}\\
\tan(\angle CID)&=\frac{CD}{ID}=\frac{s-c}{r}
\end{align*}
Namun karena $\angle AIE+\angle BIF+\angle CID=270^\circ-\left(\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}+\frac{\angle C}{2}\right)=180^\circ$ maka berlaku
\begin{align*}
\tan\angle AIE+\tan\angle BIF+\tan\angle CID&=\tan\angle AIE\cdot\tan\angle BIF\cdot\tan\angle CID\\
\frac{s-a}{r}+\frac{s-b}{r}+\frac{s-c}{r}&=\frac{s-a}{r}\cdot\frac{s-b}{r}\cdot\frac{s-c}{r}\\
3s-(a+b+c)&=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^2}\\
s&=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^2}\\
(sr)^2&=s(s-a)(s-b)(s-c)
\end{align*}
Padahal $sr=[ABC]$. Jadi terbukti bahwa $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.

Nah, sekian dulu penjelasan mengenai bukti Rumus Heron. Apabila ada yang belum jelas bisa ditanyakan di kolom komentar. Semoga bermanfaat.