Pada OSN Matematika SMA tahun ini, muncul soal tentang fungsi yang cukup menjadi ‘problem’ bagi sebagian besar peserta. Secara pribadi, saya sendiri juga tidak terlalu paham tentang fungsi. Namun berhubung beberapa hari ini saya sedang baca-baca tentang persamaan fungsi, maka tak ada salahnya kalau saya mencoba mengerjakan soal tersebut.

Sebelumnya saya tuliskan dulu soalnya (teruntuk bagi yang belum tahu atau sedang lupa dengan soalnya)

Bentuk ruas kiri cukup tak enak dilihat, maka ada baiknya kita sederhanakan terlebih dahulu.

Untuk sebarang $a > 0$
set $x=a$ dan $y=\dfrac{t-f(a)}{g(a)}$ dengan $t > f(a)$ maka diperoleh
\begin{equation*}
f(t)=\left(\dfrac{t-f(a)}{g(a)}+2015\right)f(a)=t\left(\frac{f(a)}{g(a)}\right)+2015f(a)-\frac{f(a)^2}{g(a)}
\end{equation*}
Sampai disini jika kita pandang sebagai fungsi dalam $t$ maka sepertinya $f$ adalah fungsi linier dengan domain $(f(a),\infty)$. Nah, apa yang bisa kita dapatkan? Coba kita cek.

Untuk sebarang $x_1,x_2 > 0$ dengan $f(x_1),f(x_2) \leq f(a)$ kita peroleh
\begin{align*}
f(t)&=t\left(\frac{f(x_1)}{g(x_1)}\right)+2015f(x_1)-\frac{f(x_1)^2}{g(x_1)}\\
f(t)&=t\left(\frac{f(x_2)}{g(x_2)}\right)+2015f(x_2)-\frac{f(x_2)^2}{g(x_2)}
\end{align*}
akibatnya diperoleh
\begin{equation*}
t\left(\frac{f(x_1)}{g(x_1)}-\frac{f(x_2)}{g(x_2)}\right)+2015(f(x_1)-f(x_2))+\frac{f(x_2)^2}{g(x_2)}-\frac{f(x_1)^2}{g(x_1)}=0
\end{equation*}
namun karena $t$ dapat dibuat besar sekali, akibatnya agar kesamaan berlaku haruslah
\begin{equation*}
\frac{f(x_1)}{g(x_1)}=\frac{f(x_2)}{g(x_2)}\quad\text{ dan }\quad 2015f(x_1)-\frac{f(x_1)^2}{g(x_1)}=2015f(x_2)-\frac{f(x_2)^2}{g(x_2)}
\end{equation*}
Namun karena kita juga dapat memilih nilai $f(a)$ besar sekali atau dalam kasus Range fungsi $f$ terbatas maka kita dapat memilih $f(a)$ sama dengan batas atas dari Range $f$ tersebut. Akibatnya dapat disimpulkan bahwa
\begin{equation*}
\frac{f(x)}{g(x)}\quad\text{ dan }\quad 2015f(x)-\frac{f(x)^2}{g(x)}
\end{equation*}
bernilai konstan untuk setiap $x\in R^+$.

Akan tetapi karena $f$ bukan fungsi kontan maka agar
\begin{equation*}
2015f(x)-\frac{f(x)^2}{g(x)}=f(x)\left(2015-\frac{f(x)}{g(x)}\right)
\end{equation*}
bernilai konstan haruslah
\begin{equation*}
\frac{f(x)}{g(x)}=2015\Longleftrightarrow f(x)=2015g(x)
\end{equation*}
hal ini membuktikan pernyataan bagian 1)

Selanjutnya untuk menjawab bagian2), perhatikan kembali proses yang telah kita lalui di atas. Dari apa yang telah kita kerjakan, kita mengetahui bahwa untuk $t$ yang cukup besar berlaku $f(t)=2015t$. Maka hal ini mendorong kita untuk mencoba pasangan fungsi $f(x)=2015x$ dan $g(x)=x$. Dan setelah dicek kembali pada persamaan awal, pasangan fungsi ini memenuhi. Hanya saja pada bagian 2) disyaratkan pula $f(x),g(x)\geq 1$ untuk setiap $x\in R^+$, sehingga fungsi yang telah kita peroleh harus sedikit dimodifikasi untuk domain $0 < x < 1$. Salah satunya bisa seperti ini
$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
2015, & \hbox{untuk $0 < x < 1$} \\
2015x, & \hbox{untuk $x \geq 1$}
\end{array}
\right.$
dan
$g(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \hbox{untuk $0 < x < 1$} \\
x, & \hbox{untuk $x \geq 1$}
\end{array}
\right.$

Untuk level OSN, soal-soal yang berkaitan dengan persamaan fungsi memang masing jarang. Selain tahun ini, soal persamaan fungsi juga pernah sekali keluar pada tahun 2008. Berikut soalnya (mungkin melenceng dari judul, tetapi karena cuma satu, sekalian aja, hehehe

Misal $f(1)=a$ untuk suatu bilangan asli $a$.
Set $m=1$ diperoleh
\begin{equation*}
f(n)+f(n+1)=f(1)f(n)+1\Leftrightarrow f(n+1)=(a-1)f(n)+1
\end{equation*}
Oleh karena itu untuk $n=1,2,3$ diperoleh
\begin{align*}
f(2)&=(a-1)a+1\\
f(3)&=(a-1)f(2)+1\\
f(4)&=(a-1)f(3)+1
\end{align*}
sehingga
\begin{equation*}
f(4)=a^4-3a^3+4a^2-2a+1\quad ………………(1)
\end{equation*}
Selain itu set $m=n=2$ didapatkan
\begin{equation*}
f(4)+f(4)=f(2)^2+1\Leftrightarrow 2f(4)=a^4-2a^3+3a^2-2a+2\quad ………………(2)
\end{equation*}
Dari pers.(1) dan (2) diperoleh
\begin{equation*}
a^4-4a^3+5a^2-2a=0\Leftrightarrow a(a-1)^2(a-2)=0
\end{equation*}
Namun karena $a$ bilangan asli, maka hanya ada dua kasus yang mungkin

1. Jika $f(1)=a=1$, maka diperoleh $f(n+1)=1$ untuk setiap $n$ bilangan asli. Jadi, didapat $f(n)=1$ untuk setiap $n$ bilangan asli.
2. Jika $f(1)=a=2$, maka diperoleh $f(n+1)=f(n)+1$ untuk setiap $n$ bilangan asli. Dengan induksi, mudah dibuktikan bahwa $f(n)=n+1$ untuk setiap $n$ bilangan asli.

Jadi, ada dua solusi yang mungkin yaitu $f(n)=1$ dan $f(n)=n+1$

Demikian solusi saya untuk kedua soal di atas. Saya sendiri masih kurang yakin mengenai benar atau salahnya. Karena dalam soal yang berkaitan dengan fungsi dan banyak melakukan substitusi kadang sering typo terutama terkait domain dari variabel yang kita gunakan. Oleh karena itu, jika ada masukan ataupun koreksi dari pembaca, saya persilakan.