Pernahkah Anda mengerjakan soal berikut?

Misalkan $a,b,c$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi ketaksamaan \begin{equation*} 5(a^2+b^2+c^2) <6(ab+bc+ca) \end{equation*} Buktikan bahwa ketiga ketaksamaan berikut berlaku $a+b >c,b+c >a$ dan $c+a >b$

Jika pernah, maka Anda akan segera sadar bahwa soal di atas adalah salah satu soal yang diujikan pada OSN Matematika SMA tahun 2007. Tepatnya, soal ketiga hari pertama.

Salah satu solusi dari soal di atas bisa seperti ini,

Karena ketiga variablenya simetrik, maka tanpa mengurangi keumuman kita dapat memisalkan $a\geq b\geq c$. Dengan demikian ketaksamaan $a+b > c$ dan $c+a > b$ jelas bernilai benar. Oleh karena itu, tinggal dibuktikan $b+c > a$. Padahal ketaksamaan
\begin{equation*}
5(a^2+b^2+c^2) < 6(ab+bc+ca)
\end{equation*}equivalen dengan
\begin{equation*}
(a-b-c)(5a-b-c)+4(b-c)^2 < 0
\end{equation*}
Karena $5a-b-c>0$ dan $4(b-c)^2\geq 0$ maka haruslah $a-b-c < 0$. Dengan demikian terbukti $a < b+c$.

Solusinya memang cukup simpel. Saking simpelnya, pernah ada salah satu murid yang akhirnya bertanya, “Itu bentuk equivalennya dapat darimana Pak?” Hehehe, ini adalah pertanyaan paling crusial. Ya, untuk mendapatkan bentuk equivalen seperti di atas tentu bukan suatu kebetulan. Atau bukan sesuatu yang turun dari langit.

Salah satu penjelasannya mungkin bisa seperti ini

Dari kataksamaan
\begin{equation*}
5(a^2+b^2+c^2) – 6(ab+bc+ca) < 0
\end{equation*}idenya kita ingin memunculkan faktor/ekspresi $(a-b-c)$. Supaya memudahkan (sebagian siswa lebih suka dengan variable $x$) maka kita dapat memisalkan $a=x$ dan memandang ekspresi $5(x^2+b^2+c^2) – 6(xb+bc+cx)$ sebagai suatu polinom kuadrat dalam $x$, yaitu
\begin{equation*}
P(x)=5x^2-6(b+c)x+5b^2+5c^2-6bc
\end{equation*}
Selanjutnya untuk memunculkan faktor/ekspresi $(x-b-c)$ hal ini sama artinya dengan mencari sisa dan hasil bagi jika polinom $P(x)$ dibagi dengan $(x-b-c)$. Untuk teknisnya, bisa dengan bantuan Horner atau pembagian bersusun biasa. Silakan dicoba sendiri. Nanti kita akan dapatkan
\begin{equation*}
P(x)=(x-b-c)(5x-b-c)+4b^2+4c^2-8bc
\end{equation*}
Dari sini akan terlihat jelas bagaimana mendapatkan bentuk equivalen pada solusi di atas.

Remark. Soal OSN 2007 ini adalah versi lebih mudah dari soal CGMO (China Girls’ Mathematical Olympiad) 2002. Kalo soal CGMO seperti ini,
Carilah semua bilangan real positif $k$ sehingga untuk setiap bilangan real $a,b,c$ yang memenuhi $k(ab+bc+ca)>5(a^2+b^2+c^2)$, maka $a,b,c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga

Bagi yang berkenan bisa dicoba sendiri untuk latihan.