Melanjutkan kembali pembahasan soal OSN Matematika SMA tahun 2014, yang telah cukup lama saya lupakan, hehe. Kali ini saya akan mencoba membahas soal nomor dua hari pertama OSN SMA 2014. Seperti biasa, saya akan mencoba sebaik mungkin untuk mengupas soal ini secara panjang lebar. Dengan harapan, pembaca akan dapat menangkap ide penyelesaian dari soal tersebut.
Jangan lupa baca juga :
Solusi nomor 4 OSN Matematika SMA 2014
Solusi nomor 8 OSN Matematika SMA 2014

Berikut soal nomor dua OSN Matematika SMA tahun 2014 tersebut : 

Misalkan $m,n$ bilangan asli sehingga sistem persamaan

\begin{align*} x+y^2&=m\\ x^2+y&=n \end{align*}memiliki tepat satu solusi bulat $(x,y)$. Tentukan semua nilai yang mungkin bagi $m-n$.

Pertama kali melihat soal ini, apa yang ada dipikiran Anda? Kalau saya, karena yang diminta adalah kemungkinan nilai $m-n$, maka hal pertama yang saya lakukan adalah mengurangkan persamaan kedua terhadap persamaan pertama untuk mendapatkan ekspresi $m-n$. Tepatnya kita peroleh

\begin{equation*}
m-n=x-y+y^2-x^2=(y-x)(y+x-1)\quad ………………..(*)
\end{equation*}Lalu apa yang kita peroleh? Perhatikan bahwa $y-x$ dan $y+x-1$ paritasnya berbeda. Itu artinya, diantara $y-x$ atau $y+x-1$ salah satu pasti ada yang genap. Jadi, diperoleh $m-n=2k$ untuk suatu bilangan bulat $k$.

Sampai di sini, kita telah mempersempit kemungkinan nilai dari $m-n$. Lalu, apakah semua bilangan genap memenuhi? Untuk mudahnya, mari kita mulai mengeceknya dari yang paling sederhana, yaitu kasus $k=0$.

Untuk kasus $k=0$ atau $m=n$, dari persamaan (*) diperoleh
\begin{equation*}
(y-x)(y+x-1)=0
\end{equation*}sehingga ada dua kasus yang mungkin,

  • Kasus pertama, $y=x$. Untuk kasus ini sistem persamaannya menjadi $x^2+x=m$. Dan jika memiliki solusi bulat, katakanlah $x_0=t$, maka $x_1=-1-t$ juga nerupakan solusi. Jadi, tidak mungkin tunggal.
  • Kasus kedua, $y=1-x$. Untuk kasus ini sistem persamaannya menjadi $x^2-x+1=m$. Dan jika memiliki solusi bulat, katakanlah $x_0=t$, maka $x_1=1-t$ juga nerupakan solusi. Jadi, tidak mungkin tunggal.

Jadi, kita simpulkan $m-n\neq 0$.

And the next step, bagaimana jika $k > 0$. Untuk kasus $k > 0$, dengan melihat persamaan (*) diperoleh
\begin{equation*}
(y-x)(y+x-1)=2k
\end{equation*}kita bisa mengambil nilai $y-x=1$ dan $y+x-1=2k$. Apakah harus ini? Tidak juga, tapi ini yang relatif sederhana. Dari sini didapat, $x=k$ dan $y=k+1$. Selanjutnya kita bentuk sistem persamaan berikut :
\begin{align*}
x+y^2&=k^2+3k+1\\
x^2+y&=k^2+k+1
\end{align*}Dengan mengambil $m=k^2+3k+1$ dan $n=k^2+k+1$, jelas $m,n > 0$, kita peroleh sistem persamaan yang diharapkan dengan solusi bulatnya $(x_0,y_0)=(k,k+1)$ dan memenuhi pula $m-n=2k$.

Masalah selanjutnya adalah, apakah solusi bulat tersebut tunggal? Karena jika tidak, haduh!! percuma usaha kita. Jadi, berharap saja tunggal yak, 😀

Untuk membuktikan ketunggalannya, kita gunakan kontradiksi saja. Kalau pake bukti langsung, lebih ribet (mungkin). As for the contrary, assume (eh, bener ga sih nulisnya 🙂 ) ada solusi bulat lain, katakanlah $(x_1,y_1)$ dengan $x_0\neq x_1$, yang memenuhi sistem persamaan di atas. Kita peroleh,
\begin{align*}
x_0+y_0^2&=x_1+y_1^2\\
x_0^2+y_0&=x_1^2+y_1
\end{align*}yang equivalen dengan
\begin{align*}
(y_0+y_1)(y_0-y_1)&=x_1-x_0\\
(x_0+x_1)(x_0-x_1)&=y_1-y_0
\end{align*}sehingga diperoleh
\begin{equation*}
(y_0+y_1)(x_0+x_1)(x_0-x_1)=x_0-x_1
\end{equation*}karena $x_0\neq x_1$, akibatnya
\begin{equation*}
(y_0+y_1)(x_0+x_1)=1
\end{equation*}
Ada dua kasus yang mungkin

  1. $y_0+y_1=1$ dan $x_0+x_1=1$, akibatnya $x_1=1-x_0=1-k$ dan $y_1=1-y_0=-k$. Jika disubstitusikan ke persamaan diperoleh
    \begin{equation*}
    x_1+y_1^2=1-k+(-k)^2=k^2-k+1 < k^2+3k+1
    \end{equation*}kontradiksi dengan fakta bahwa $(x_1,y_1)$ adalah salah satu solusi.
  2. $y_0+y_1=-1$ dan $x_0+x_1=-1$, akibatnya $x_1=-1-x_0=-1-k$ dan $y_1=-1-y_0=-2-k$. Jika disubstitusikan ke persamaan diperoleh
    \begin{equation*}
    x_1+y_1^2=-1-k+(-2-k)^2=k^2+3k+3 > k^2+3k+1
    \end{equation*}kembali lagi diperoleh kontradiksi.

Jadi, terbukti bahwa sistem persamaan
\begin{align*}
x+y^2&=k^2+3k+1\\
x^2+y&=k^2+k+1
\end{align*}memiliki tepat satu solusi bulat yaitu $(k,k+1)$. Jadi, terbukti pula $m-n=2k$ untuk semua bilangan bulat $k > 0$.

The last question. Bagaimana untuk kasus $k < 0$. Ada yang sudah bisa nebak mau dibawa kemana? Yupz, betul sekali. Kopi paste saja cara yang kita pake untuk kasus $k > 0$. Agar kopi pastenya semakin mirip seratus persen, kita bisa misalkan $k=-t$ untuk suatu bilangan bulat positif $t$. Jadinya nanti didapat
\begin{equation*}
(y-x)(y+x-1)=-2t
\end{equation*}sekali lagi pilih $y-x=-1$ dan $y+x-1=2t$ akibatnya $x=t+1$ dan $y=t$ (wah mirip kan?). Selanjutnya bentuk sistem persamaan
\begin{align*}
x+y^2&=t^2+t+1\\
x^2+y&=t^2+3t+1
\end{align*}Jadi, pilih $m=t^2+t+1$ dan $n=t^2+3t+1$ sehingga $m,n$ pasti asli dan $m-n=-2t$. Solusi bulat dari sistem persamaan ini adalah $(x,y)=(t+1,t)$ dan berdasarkan kasus sebelumnya, solusi ini adalah tunggal.

Nah, akhirnya lengkap sudah semua kasus. Kita telah berhasilkan membuktikan bahwa semua kemungkinan nilai $m-n$ adalah semua bilangan genap kecuali nol.

NB : setelah dipikir-pikir, pembagian kasus $k > 0$ dan $k < 0$ bisa sedikit lebih dilonggarkan. Artinya untuk kasus $k\leq -3$, contoh sistem persamaan yang digunakan bisa sama persis dengan kasus $k > 0$, karena nilai $m=k^2+3k+1$ dan $n=k^2+k+1$ pasti positif. Masalah mungkin timbul cuma jika $k=-1$ dan $k=-2$, karena nilai $m=k^2+3k+1$ negatif. Jadi perlu dithread sendiri. Jadi, Anda boleh pilih pembagian kasus seperti contoh yang sudah saya berikan, yaitu $k=0$, $k > 0$ dan $k < 0$. Atau cukup dibagi dua kasus $k=0$ dan $k\leq 3\cup k > 0$, tetapi perlu Anda berikan contoh tersendiri untuk $k=-1$ dan $k=-2$. Jatuhnya ya sama saja. Malah mungkin jadi lebih panjang sedikit. Up to pemirsalah ya, monggo.

Karena soal sudah terpecahkan, maka waktunya bagi saya untuk mohon undur diri. Jika ada yang masih kurang jelas, bisa ditanyakan melalui kolom komentar. Jika ada masukan dan kritikan, saya juga dengan senang hati menerimanya. Oh ya, untuk solusi rapi dari soal ini, dibuat sendiri-sendiri saja yah, hehehe 😀

Salam,