Pada pembahasan soal nomor 2, 4 dan 8 OSN SMA tahun 2014 sebelumnya, kita sudah banyak bermain dengan aljabar dan teori bilangan. Kini saatnya kita sedikit refreshing dengan melupakan segala macam manipulasi aljabar dan mencoba menengok soal-soal geometri OSN 2014.
Untuk tahun 2014, ada dua soal geometri. Tepatnya nomor 3 dan nomor 6. Untuk tingkat kesulitannya sendiri, secara pribadi saya menilai tidak terlalu susah. Perlu digarisbawahi, saya bisa beranggapan semacam ini karena saya tidak terbatas waktu ketika mencoba mengerjakan. Dan tujuan ketika mengerjakan juga semata-mata untuk refreshing saja. Ini tentu berbeda dengan peserta lomba yang memiliki banyak tekanan, baik waktu maupun ketatnya persaingan. Jadi, bisa jadi soalnya menjadi relatif susah. Tetapi bagaimanapun, soal geometri memang selalu mengasyikkan ๐
Pertama, mari kita mencoba melihat soal geometri nomor tiga OSN SMA 2014.
Untuk soal ini, berikut gambar yang saya buat.
Perpanjang garis $KD$ dan $LC$ sehingga berpotongan di titik $G$. Karena $DG$ sejajar $EC$ dan $DE$ sejajar $GC$ maka $DGCE$ adalah jajargenjang. Misalkan pula diagonal $DC$ dan $EG$ berpotongan di $P$. Jelas bahwa $P$ titik tengah $DC$.
Untuk langkah selanjutnya, misalkan perpanjangan garis $FE$ memotong $DC$ di $P’$. Berdasarkan dalil Ceva diperoleh
\begin{equation*}
\frac{FA}{AD}\cdot\frac{DP’}{P’C}\cdot\frac{CB}{BF}=1
\end{equation*}Namun karena $AB$ sejajar $DC$, kita juga punya
\begin{equation*}
\frac{FA}{AD}=\frac{FB}{BC}
\end{equation*}akibatnya diperoleh $DP’=P’C$. Itu artinya $P=P’$. Jadi, bisa disimpulkan bahwa titik-titik $F,E,P,G$ segaris.
Dan untuk sentuhan terakhir, perhatikan bahwa
\begin{equation*}
\frac{GD}{DK}=\frac{CE}{EA}=\frac{DE}{EB}=\frac{GC}{CL}
\end{equation*}sehingga $DC$ sejajar $KL$.
Misalkan $FG$ dan $KL$ berpotongan di $Q$. Kita peroleh
\begin{equation*}
\frac{KQ}{DP}=\frac{QG}{PG}=\frac{QL}{PC}
\end{equation*}ingat bahwa $DP=PC$, maka tentu saja $KQ=QL$. Jadi, dengan hasil ini telah terbukti bahwa garis $FE$ melalui titik tengah segmen $KL$.
Yes, nomor 3 sudah selesai. Ada yang masih mau bertanya? Monggo kolom komentar selalu terbuka untuk Anda.
Sekarang lanjut ke soal OSN 2014 nomor 6. Soalnya seperti ini,
Perhatikan, segitiga $AMD$ dan segitiga $ADB$ sebangun. Sehingga diperoleh
\begin{equation*}
\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AD}\Leftrightarrow AD^2=AB\cdot AM\quad …..(1)
\end{equation*}kita juga punya segitiga $AND$ dan segitiga $ADC$ sebangun, akibatnya
\begin{equation*}
\frac{AD}{AC}=\frac{AN}{AD}\Leftrightarrow AD^2=AC\cdot AN\quad …..(2)
\end{equation*}Selain itu perhatikan pula bahwa
\begin{equation*}
\angle MAN+\angle MDN=\angle BAC+\angle MDA+\angle NDA=\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ
\end{equation*}Jadi, $AMDN$ adalah segiempat talibusur. Akibatnya diperoleh $\angle MDA=\angle ANP$. Sehingga dipunyai segitiga $AMD$ sebangun dengan segitiga $APN$. Oleh karena itu diperoleh
\begin{equation*}
\frac{AM}{AP}=\frac{AD}{AN}\Leftrightarrow AP=\frac{AM\cdot AN}{AD}\quad …..(3)
\end{equation*}
Sekarang amunisi sudah siap. Tinggal sentuhan terakhir. Dari pers.(1) dan pers.(2) diperoleh
\begin{equation*}
AD^4=AB\cdot AC\cdot AM\cdot AN\Leftrightarrow AD^3=AB\cdot AC\cdot\frac{AM\cdot AN}{AD}
\end{equation*}Namun dengan memperhatikan pers.(3) diperoleh
\begin{equation*}
AD^3=AB\cdot AC\cdot AP
\end{equation*}seperti yang diharapkan ๐
Jangan lupa baca juga :
Solusi Nomor 2 OSN Matematika SMA 2014
Solusi Nomor 4 OSN Matematika SMA 2014
Solusi Nomor 8 OSN Matematika SMA 2014
pak. kenapa ya soal geometri osn 2014 cenderung mudah? bgmn prediksi bapak mengenai soal geometri osn nasional 2015? apakah tingkat kesulitannya akan sama dgn tahun 2014?
Menurut saya pribadi, soal geometri dua tahun terakhir memang lebih mudah jika dibanding dengan tahun2 sebelumnya, misal tahun 2012, 2011 dan 2010, soal-soal geometrinya susah-susah.
Untuk tahun 2015? Wah, saya tidak pandai membuat prediksi. Kita lihat saja nanti.
Seperti yang saya tulis di post, yang perlu disadari adalah suasana ketika lomba sangat berbeda dengan suasana di luar lomba. Jadi, mengatakan soal mudah bagi orang yang tidak merasakan langsung suasana ketika lomba, saya kira juga kurang pas.
pak, bisa bagikan ebook yg berkaitan dgn geometri olimpiade.pak…. teori harmonic division itu ditemukan oleh siapa dan thun berapa? thanks ๐
Geometry Revisited, cukup bagus saya rasa, silakan di Googling saja
Untuk sejarah, saya juga kurang paham sih
wah saya udah berulang2 kali dapet soal bgnian knp nga ngerti2 yah..
btw thank’s pak sudah susah payah mau menjelaskan dengan detal lewat blog ini :D\
Wah, gak nyangka soal no. 3 bisa diselesaikan dengan cara yang begitu simpel. Saya sudah pernah mencoba mengerjakannya dengan analit, dan itu rumit banget ._.
BTW, kira-kira bapak ada saran, gak, ebook apa yang cocok untuk persiapan OSN SMA 2015 nanti?
Sebenarnya semua bisa dipake buat belajar sih. Tapi mungkin beberapa buku semisal geometry revisited, number theory:problems and structure, Olympiad treasure, 101 algebra problems from US IMO training dan buku kombin karangan Yao Zhang (lupa judulnya), bisa buat belajar juga
P.S. saya tidak memberikan link download untuk buku-buku di atas sebab semuanya mememiliki hak cipta. Jadi bisa beli di amazone, atau jika memang kemahalan (dan memang mahal banget), coba di Googling saja, bila beruntung pasti ketemu. Tapi ingat, saya tidak menyarankan, jadi risiko ditanggung masing-masing, ๐
mas tutur.. tolong ya solusi soal berikut: Misalkan ABC adalah segitiga dengan P pada ruas BC. titik M pada AB dan N pada AC sehingga MN tidak sejajar BC dengan AMPN jajar genjang. Garis MN memotong lingkaran luar segitiga ABC di R dan S. Buktikan bahwa lingkaran luar sgitiga RPS menyinggung BC !
Sepertinya perpotongan $BC$ dan $MN$ bermanfaat (karena soal mensyaratkan keduanya tak sejajar)
metodenya apa mas? tolong solusi lengkapnya ya…
Misalkan $BC$ dan $MN$ berpotongan di $D$.
segitiga $DMB$ sebangun segitiga $DNP$, serta segitiga $DMP$ sebangun segitiga $DNC$, akibatnya
\begin{equation*}
\frac{DP}{DB}=\frac{DN}{DM}=\frac{DC}{DP}
\end{equation*}
sehingga $DP^2=DC\times DB$
Akan tetapi dengan Power of the Point, $DC\times DB=DR\times DS$.
Jadi, $DP^2=DR\times DS$, maka $DP$ garis singgung lingkaran luar $\triangle RPS$
simpel banget mas.. mas ada strategi gak utk menjawab soal geometri pembuktian khususnya utk menghadapi osn 2015 nanti?
Waduh apa ya. Terus asah aja sih kemampuan dengan mencoba solve beragam soal
Wah masih belum paham gan, puyeng dah