Solusi Soal Geometri OSN Matematika SMA 2015

Perlehatan OSN SMA tahun 2015 telah usai. Untuk bidang matematika, soal-soal yang muncul tahun ini saya belum banyak bisa berkomentar. Hal ini karena saya belum mencoba semua soal. Saya baru mencoba soal geometrinya. Seperti biasa, tahun ini tetap ada dua soal geometri. Seperti tahun kemarin, geometri muncul di nomor 3 dan nomor 6. Khusus soal geometri, saya lebih suka soal tahun ini daripada soal geometri tahun2014. Bagi saya pribadi, ide untuk menyelesaikan soalnya lebih ke-hide daripada tahun kemarin yang lebih straightforward.

Berikut soal geometri nomor 3 hari pertama,

Diberikan segitiga lancip $ABC$. Lingkaran $\Gamma_B$ adalah lingkaran yang melewati $AB$ dan menyinggung $AC$ pada $A$ dan berpusat di $O_B$. Definisikan yang serupa untuk $\Gamma_C$ dan $O_C$. Misalkan garis tinggi segitiga $ABC$ dari $B$ dan $C$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ pada $X$ dan $Y$. Buktikan $A$, titik tengah $XY$, dan titik tengah $O_BO_C$ segaris.

Pertama gambar dulu,

Misalkan $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah titik tengah $XY$ dan titik tengah $O_BO_C$. Misalkan pula $O$ pusat lingkaran luar segitiga $ABC$.

Lemma 1. Titik $A, Q$ dan $O$ segaris.
Bukti. Perhatikan bahwa $AO_C\bot AB$ dan $AO_BBO$ adalah layang-layang sehingga $O_BO\bot AB$. Oleh karena itu, $AO_C$ sejajar $O_BO$. Dengan cara serupa diperoleh $AO_B$ sejajar $O_CO$. Jadi, $AO_BOO_C$ adalah jajargenjang. Karena $Q$ titik tengah $O_BO_C$ maka $A,Q$ dan $O$ segaris.

Lemma 2. Titik $A, P$ dan $O$ segaris.
Bukti. Perlu diperhatikan bahwa
\begin{equation*}
\angle ACY=90^\circ-\angle BAC=\angle ABX
\end{equation*}Hal ini berakibat $AX=AY$. Oleh karena itu, $AXY$ adalah segitiga samakaki, sehingga didapat $\angle APX=90^\circ$. Namun karena $OXY$ juga merupakan segitiga samakaki maka $\angle OPX=90^\circ$. Jadi. $A,P,O$ segaris.

Dari lemma 1 dan lemma 2 diperoleh bahwa titik $A,P$ dan $Q$ segaris.

Selanjutnya soal geometri nomor 6 hari kedua,

Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik pusat lingkaran luar $O$. Garis $AO$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ lagi di titik $D$. Misalkan $P$ titik pada sisi $BC$. Garis melalui $P$ yang tegak lurus $AP$ memotong garis $DB$ dan $DC$ berturut-turut di titik $E$ dan $F$. Garis melalui $D$ tegak lurus $BC$ memotong $EF$ di titik $Q$. Buktikan bahwa $EQ=FQ$ jika dan hanya jika $BP=CP$

Gambar dulu ya,

Perhatikan bahwa $APBE$ adalah segiempat talibusur, hal ini karena $\angle APE=90^\circ=\angle ABE$. Dari sini kita dapatkan
\begin{equation*}
\angle QED=\angle PAB
\end{equation*}Selain itu
\begin{equation*}
\angle EDQ=90^\circ-\angle CBD=\angle ABP
\end{equation*}maka $\triangle EDQ$ sebangun dengan $\triangle ABP$. Akibatnya
\begin{equation*}
\frac{EQ}{AP}=\frac{QD}{BP}\Leftrightarrow AP\cdot QD=EQ\cdot BP\quad ……….(1)
\end{equation*}serta
\begin{equation*}
\angle EQD=\angle APB
\end{equation*}akibatnya
\begin{equation*}
\angle FQD=\angle APC
\end{equation*}Perhatikan kita juga punya
\begin{equation*}
\angle ACP=\angle ADB=\angle BDQ+\angle QDO=\angle ABP+\angle QDO=\angle ADC+\angle QDO=\angle FDQ
\end{equation*}Jadi, $\triangle FDQ$ sebangun dengan $\triangle APC$. Maka diperoleh
\begin{equation*}
\frac{QD}{PC}=\frac{FQ}{AP}\Leftrightarrow AP\cdot QD=PC\cdot FQ\quad ……….(2)
\end{equation*}
Dari (1) dan (2) diperoleh
\begin{equation*}
EQ\cdot BP=PC\cdot FQ
\end{equation*}atau ekivalen dengan
\begin{equation*}
\frac{EQ}{FQ}=\frac{PC}{BP}
\end{equation*}
yang berarti $EQ=FQ$ jika dan hanya jika $BP=PC$ seperti yang diharapkan.